Номер 27.41, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.41, страница 228.

Условие.

27.41. Остаток при делении трёхзначного числа $m = \overline{2bb}$ на некоторое однозначное число равен 8. Найдите число $m$.

Решение.

Пусть $m$ – искомое трёхзначное число. По условию, число $m$ имеет вид $\overline{2bb}$, где $b$ – это цифра десятков и единиц. Это число можно записать в виде алгебраической суммы: $m = 2 \cdot 100 + b \cdot 10 + b = 200 + 11b$.

Также известно, что при делении числа $m$ на некоторое однозначное число $d$ остаток равен 8. Это можно записать как: $m = d \cdot q + 8$, где $q$ – неполное частное.

По свойству деления с остатком, остаток всегда строго меньше делителя. В данном случае остаток равен 8, следовательно, делитель $d$ должен быть больше 8: $d > 8$.

Поскольку $d$ – это однозначное число (то есть целое число от 1 до 9), единственное возможное значение для $d$, удовлетворяющее условию $d > 8$, это $d = 9$.

Таким образом, мы выяснили, что число $m$ при делении на 9 даёт в остатке 8. Это можно записать с помощью сравнения по модулю: $m \equiv 8 \pmod{9}$.

Согласно признаку делимости на 9, число даёт такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр. Сумма цифр числа $m = \overline{2bb}$ равна $2 + b + b = 2 + 2b$.

Следовательно, сумма цифр также должна давать остаток 8 при делении на 9: $2 + 2b \equiv 8 \pmod{9}$.

Решим это сравнение относительно $b$: $2b \equiv 8 - 2 \pmod{9}$
$2b \equiv 6 \pmod{9}$

Так как наибольший общий делитель чисел 2 и 9 равен 1, мы можем разделить обе части сравнения на 2: $b \equiv 3 \pmod{9}$.

Это означает, что $b$ может быть 3, 12, 21 и так далее. Но поскольку $b$ – это цифра, она может принимать значения от 0 до 9. Единственное значение из этого диапазона, удовлетворяющее условию $b \equiv 3 \pmod{9}$, это $b = 3$.

Теперь, зная значение $b$, мы можем найти число $m$: $m = \overline{2bb} = 233$.

Проверим: $233 \div 9 = 25$ с остатком $8$ ($25 \cdot 9 + 8 = 225 + 8 = 233$). Условия задачи выполнены.

Ответ: 233.