Номер 27.45, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.45, страница 228.

Условие.

27.45. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые невозможно представить в виде суммы кубов трёх натуральных чисел.

Решение.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом, основанным на арифметике остатков (сравнениями по модулю). Мы проанализируем, какие остатки могут давать натуральные числа при делении на 9.

Сначала найдём, какие остатки даёт куб натурального числа $k$ при делении на 9. Для этого достаточно проверить остатки для $k$ от 1 до 9, так как остатки кубов будут циклически повторяться.
$1^3 = 1 \equiv 1 \pmod{9}$
$2^3 = 8 \equiv 8 \pmod{9}$
$3^3 = 27 \equiv 0 \pmod{9}$
$4^3 = 64 = 7 \cdot 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$
$5^3 = 125 = 13 \cdot 9 + 8 \equiv 8 \pmod{9}$
$6^3 = 216 = 24 \cdot 9 \equiv 0 \pmod{9}$
$7^3 = 343 = 38 \cdot 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$
$8^3 = 512 = 56 \cdot 9 + 8 \equiv 8 \pmod{9}$
$9^3 = 729 = 81 \cdot 9 \equiv 0 \pmod{9}$
Таким образом, куб любого натурального числа при делении на 9 может давать в остатке только 0, 1 или 8.

Теперь рассмотрим число $N$, которое является суммой кубов трёх натуральных чисел: $N = x^3 + y^3 + z^3$, где $x, y, z$ — натуральные числа. Остаток от деления $N$ на 9 будет равен сумме остатков от деления $x^3$, $y^3$ и $z^3$ на 9. Каждый из этих остатков, как мы выяснили, может быть равен 0, 1 или 8. Переберём все возможные комбинации сумм этих остатков по модулю 9:
$0+0+0 \equiv 0 \pmod{9}$
$0+0+1 \equiv 1 \pmod{9}$
$0+0+8 \equiv 8 \pmod{9}$
$0+1+1 \equiv 2 \pmod{9}$
$0+1+8 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$
$0+8+8 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$
$1+1+1 \equiv 3 \pmod{9}$
$1+1+8 = 10 \equiv 1 \pmod{9}$
$1+8+8 = 17 \equiv 8 \pmod{9}$
$8+8+8 = 24 \equiv 6 \pmod{9}$
Итак, возможные остатки от деления суммы кубов трёх натуральных чисел на 9 — это 0, 1, 2, 3, 6, 7, 8.

Из этого следует, что сумма кубов трёх натуральных чисел никогда не может давать остаток 4 или 5 при делении на 9. Следовательно, любое натуральное число $n$, для которого выполняется $n \equiv 4 \pmod{9}$ или $n \equiv 5 \pmod{9}$, не может быть представлено в виде суммы кубов трёх натуральных чисел.

Рассмотрим множества чисел, которые удовлетворяют этим условиям. Множество натуральных чисел, дающих остаток 4 при делении на 9, — это числа вида $9k+4$ для $k \ge 0$: $4, 13, 22, 31, \dots$. Множество натуральных чисел, дающих остаток 5 при делении на 9, — это числа вида $9k+5$ для $k \ge 0$: $5, 14, 23, 32, \dots$. Обе эти последовательности являются бесконечными арифметическими прогрессиями.

Поскольку существует бесконечно много натуральных чисел, дающих при делении на 9 остаток 4 или 5, существует и бесконечно много натуральных чисел, которые невозможно представить в виде суммы кубов трёх натуральных чисел. Что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что все натуральные числа вида $9k+4$ и $9k+5$ (где $k$ — целое неотрицательное число) не могут быть представлены в виде суммы кубов трёх натуральных чисел. Так как таких чисел бесконечно много, утверждение задачи доказано.