Номер 27.43, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.43, страница 228.

Условие.

27.43. При делении натурального числа $n$ на 26 остаток равен неполному частному, при делении $n$ на 29 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения $n$.

Решение.

По условию, при делении натурального числа $n$ на 26 остаток равен неполному частному. Пусть неполное частное равно $k_1$. Тогда и остаток равен $k_1$. Согласно определению деления с остатком, мы можем записать:
$n = 26 \cdot k_1 + k_1$
$n = 27k_1$
При этом остаток должен быть меньше делителя, то есть $0 \le k_1 < 26$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$, следовательно $27k_1 > 0$, что означает $k_1 > 0$. Таким образом, $k_1$ может быть любым целым числом от 1 до 25 включительно: $1 \le k_1 \le 25$.

Аналогично, при делении числа $n$ на 29 остаток равен неполному частному. Пусть неполное частное равно $k_2$. Тогда и остаток равен $k_2$. Запишем это в виде уравнения:
$n = 29 \cdot k_2 + k_2$
$n = 30k_2$
Остаток должен быть меньше делителя, то есть $0 \le k_2 < 29$. Так как $n$ — натуральное число, $k_2$ также должно быть больше нуля. Таким образом, $k_2$ может быть любым целым числом от 1 до 28 включительно: $1 \le k_2 \le 28$.

Теперь у нас есть два выражения для числа $n$. Приравняем их:
$27k_1 = 30k_2$
Разделим обе части уравнения на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$9k_1 = 10k_2$

Поскольку числа 9 и 10 взаимно простые, из равенства $9k_1 = 10k_2$ следует, что $k_1$ должно быть кратно 10, а $k_2$ должно быть кратно 9. Можно записать это в виде:
$k_1 = 10m$
$k_2 = 9m$
где $m$ — некоторое натуральное число (так как $k_1$ и $k_2$ натуральные).

Подставим эти выражения в неравенства для $k_1$ и $k_2$:
1) $1 \le k_1 \le 25 \implies 1 \le 10m \le 25 \implies 0.1 \le m \le 2.5$
2) $1 \le k_2 \le 28 \implies 1 \le 9m \le 28 \implies \frac{1}{9} \le m \le \frac{28}{9} \implies 0.111... \le m \le 3.111...$

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Так как $m$ — целое число, то из первого неравенства следует, что $m$ может быть равно 1 или 2. Из второго неравенства следует, что $m$ может быть равно 1, 2 или 3. Пересечением этих множеств являются значения $m=1$ и $m=2$.

Рассмотрим оба случая:
1. Если $m=1$, то $k_1 = 10 \cdot 1 = 10$ и $k_2 = 9 \cdot 1 = 9$.
Находим значение $n$:
$n = 27k_1 = 27 \cdot 10 = 270$
Проверим по второй формуле: $n = 30k_2 = 30 \cdot 9 = 270$. Значение подходит.

2. Если $m=2$, то $k_1 = 10 \cdot 2 = 20$ и $k_2 = 9 \cdot 2 = 18$.
Находим значение $n$:
$n = 27k_1 = 27 \cdot 20 = 540$
Проверим по второй формуле: $n = 30k_2 = 30 \cdot 18 = 540$. Это значение также подходит.

Таким образом, существуют два возможных значения для $n$.
Ответ: 270, 540.