Номер 27.36, страница 228 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.36, страница 228.

Условие.

27.36. Докажите, что среди чисел вида $5^n + 5^m$ ($m$ и $n$ — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

Решение.

Допустим от противного, что число вида $5^n + 5^m$ является квадратом натурального числа $k$, то есть $5^n + 5^m = k^2$, где $m, n$ — натуральные числа. Не теряя общности, будем считать, что $n \le m$. Вынесем $5^n$ за скобки: $5^n(1 + 5^{m-n}) = k^2$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $n = m$
В этом случае выражение принимает вид: $5^n + 5^n = 2 \cdot 5^n$. Для того чтобы число $2 \cdot 5^n$ было полным квадратом, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители все показатели степеней были четными. Разложение числа $2 \cdot 5^n$ на простые множители имеет вид $2^1 \cdot 5^n$. Показатель степени у простого числа 2 равен 1, что является нечетным числом. Следовательно, число $2 \cdot 5^n$ не может быть квадратом натурального числа.

Случай 2: $n < m$
Обозначим $d = m - n$. Так как $m$ и $n$ — натуральные числа и $n < m$, то $d$ также является натуральным числом, $d \ge 1$. Выражение принимает вид: $5^n(1 + 5^d) = k^2$. Число $1 + 5^d$ не делится на 5, так как $5^d$ делится на 5, а 1 нет. Таким образом, $1 + 5^d \equiv 1 \pmod{5}$. Это означает, что простые множители 5 содержатся только в члене $5^n$, и сомножители $5^n$ и $1+5^d$ взаимно просты. Для того чтобы их произведение было полным квадратом, необходимо, чтобы каждый из этих взаимно простых сомножителей был полным квадратом. Отсюда следует, что $5^n$ должно быть полным квадратом (значит, показатель $n$ — четное число), и $1 + 5^d$ также должно быть полным квадратом. Пусть $1 + 5^d = l^2$ для некоторого натурального числа $l$. Тогда $5^d = l^2 - 1$. Разложим правую часть на множители по формуле разности квадратов: $5^d = (l-1)(l+1)$. Так как $l-1$ и $l+1$ являются делителями $5^d$, они должны быть степенями числа 5. Пусть $l-1 = 5^a$ и $l+1 = 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа. Поскольку $l+1 > l-1$, то $b > a$. Также их произведение $5^a \cdot 5^b = 5^{a+b} = 5^d$, откуда $a+b=d$. Вычтем первое уравнение из второго:$(l+1) - (l-1) = 5^b - 5^a$$2 = 5^b - 5^a$$2 = 5^a(5^{b-a} - 1)$. Поскольку $a$ — целое неотрицательное число, $5^a$ является целой степенью пятерки ($1, 5, 25, \dots$). Так как $5^a$ является делителем числа 2, единственно возможный случай — это $5^a = 1$, что означает $a=0$. Подставим $a=0$ в уравнение:$2 = 1 \cdot (5^{b-0} - 1)$$2 = 5^b - 1$$5^b = 3$. Это уравнение не имеет решений в целых числах $b$. Следовательно, не существует такого натурального $d$, при котором $1 + 5^d$ является полным квадратом. Это означает, что и во втором случае число $5^n + 5^m$ не может быть квадратом натурального числа.

Мы рассмотрели все возможные случаи и в каждом из них пришли к противоречию. Таким образом, наше первоначальное допущение неверно, и доказываемое утверждение верно.

Ответ: Доказано, что ни одно число вида $5^n + 5^m$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, не является квадратом натурального числа.