Номер 27.29, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.29, страница 227.
№27.29 (с. 227)
Условие. №27.29 (с. 227)
скриншот условия
 
                                27.29. Решите в целых числах уравнение:
1) $x^2 - 3y^2 = 17$;
2) $9x^2 - 28y = 15$;
3) $8x^3 + 7y^3 = 38$;
4) $16x^4 - 5y^3 = 18$.
Решение. №27.29 (с. 227)
1) $x^2 - 3y^2 = 17$
Для решения данного диофантова уравнения воспользуемся методом сравнений по модулю. Рассмотрим уравнение по модулю 3.
$x^2 - 3y^2 \equiv 17 \pmod{3}$
Поскольку $3y^2$ делится на 3, то $3y^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Число 17 при делении на 3 дает в остатке 2, то есть $17 \equiv 2 \pmod{3}$. Таким образом, сравнение принимает вид:
$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$
Теперь проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3:
- Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Квадрат любого целого числа по модулю 3 может быть равен только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет целочисленных решений.
2) $9x^2 - 28y = 15$
Рассмотрим это уравнение по модулю 4.
$9x^2 - 28y \equiv 15 \pmod{4}$
Найдем остатки коэффициентов при делении на 4: $9 \equiv 1 \pmod{4}$, $28 \equiv 0 \pmod{4}$, $15 \equiv 3 \pmod{4}$. Подставим эти значения в сравнение:
$1 \cdot x^2 - 0 \cdot y \equiv 3 \pmod{4}$
$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$
Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 4:
- Если $x$ — четное, т.е. $x = 2k$, то $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Если $x$ — нечетное, т.е. $x = 2k+1$, то $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod{4}$.
Квадрат любого целого числа по модулю 4 может быть равен только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет целочисленных решений.
3) $8x^3 + 7y^3 = 38$
Рассмотрим уравнение по модулю 7.
$8x^3 + 7y^3 \equiv 38 \pmod{7}$
Найдем остатки коэффициентов при делении на 7: $8 \equiv 1 \pmod{7}$, $7 \equiv 0 \pmod{7}$, $38 = 5 \cdot 7 + 3 \Rightarrow 38 \equiv 3 \pmod{7}$. Подставим эти значения в сравнение:
$1 \cdot x^3 + 0 \cdot y^3 \equiv 3 \pmod{7}$
$x^3 \equiv 3 \pmod{7}$
Проверим, какие остатки могут давать кубы целых чисел при делении на 7:
- $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
- $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
- $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
- $3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$
- $4^3 \equiv (-3)^3 \equiv -27 \equiv 1 \pmod{7}$
- $5^3 \equiv (-2)^3 \equiv -8 \equiv 6 \pmod{7}$
- $6^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \equiv 6 \pmod{7}$
Куб любого целого числа по модулю 7 может быть равен только 0, 1 или 6. Сравнение $x^3 \equiv 3 \pmod{7}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет целочисленных решений.
4) $16x^4 - 5y^3 = 18$
Рассмотрим уравнение по модулю 5.
$16x^4 - 5y^3 \equiv 18 \pmod{5}$
Найдем остатки коэффициентов при делении на 5: $16 \equiv 1 \pmod{5}$, $5 \equiv 0 \pmod{5}$, $18 \equiv 3 \pmod{5}$. Подставим эти значения в сравнение:
$1 \cdot x^4 - 0 \cdot y^3 \equiv 3 \pmod{5}$
$x^4 \equiv 3 \pmod{5}$
Проверим, какие остатки могут давать четвертые степени целых чисел при делении на 5. Согласно Малой теореме Ферма, для любого целого $x$, не кратного 5, выполняется $x^{5-1} = x^4 \equiv 1 \pmod{5}$. Если же $x$ кратно 5, то $x \equiv 0 \pmod{5}$, и $x^4 \equiv 0^4 \equiv 0 \pmod{5}$. Таким образом, четвертая степень любого целого числа по модулю 5 может быть равна только 0 или 1. Сравнение $x^4 \equiv 3 \pmod{5}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: нет целочисленных решений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 27.29 расположенного на странице 227 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №27.29 (с. 227), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    