Номер 27.29, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.29, страница 227.

Условие.

27.29. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 3y^2 = 17$;

2) $9x^2 - 28y = 15$;

3) $8x^3 + 7y^3 = 38$;

4) $16x^4 - 5y^3 = 18$.

Решение.

1) $x^2 - 3y^2 = 17$

Для решения данного диофантова уравнения воспользуемся методом сравнений по модулю. Рассмотрим уравнение по модулю 3.

$x^2 - 3y^2 \equiv 17 \pmod{3}$

Поскольку $3y^2$ делится на 3, то $3y^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Число 17 при делении на 3 дает в остатке 2, то есть $17 \equiv 2 \pmod{3}$. Таким образом, сравнение принимает вид:

$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$

Теперь проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3:

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Квадрат любого целого числа по модулю 3 может быть равен только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет целочисленных решений.

2) $9x^2 - 28y = 15$

Рассмотрим это уравнение по модулю 4.

$9x^2 - 28y \equiv 15 \pmod{4}$

Найдем остатки коэффициентов при делении на 4: $9 \equiv 1 \pmod{4}$, $28 \equiv 0 \pmod{4}$, $15 \equiv 3 \pmod{4}$. Подставим эти значения в сравнение:

$1 \cdot x^2 - 0 \cdot y \equiv 3 \pmod{4}$

$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$

Проверим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 4:

• Если $x$ — четное, т.е. $x = 2k$, то $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $x$ — нечетное, т.е. $x = 2k+1$, то $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Квадрат любого целого числа по модулю 4 может быть равен только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет целочисленных решений.

3) $8x^3 + 7y^3 = 38$

Рассмотрим уравнение по модулю 7.

$8x^3 + 7y^3 \equiv 38 \pmod{7}$

Найдем остатки коэффициентов при делении на 7: $8 \equiv 1 \pmod{7}$, $7 \equiv 0 \pmod{7}$, $38 = 5 \cdot 7 + 3 \Rightarrow 38 \equiv 3 \pmod{7}$. Подставим эти значения в сравнение:

$1 \cdot x^3 + 0 \cdot y^3 \equiv 3 \pmod{7}$

$x^3 \equiv 3 \pmod{7}$

Проверим, какие остатки могут давать кубы целых чисел при делении на 7:

• $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
• $3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$
• $4^3 \equiv (-3)^3 \equiv -27 \equiv 1 \pmod{7}$
• $5^3 \equiv (-2)^3 \equiv -8 \equiv 6 \pmod{7}$
• $6^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \equiv 6 \pmod{7}$

Куб любого целого числа по модулю 7 может быть равен только 0, 1 или 6. Сравнение $x^3 \equiv 3 \pmod{7}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет целочисленных решений.

4) $16x^4 - 5y^3 = 18$

Рассмотрим уравнение по модулю 5.

$16x^4 - 5y^3 \equiv 18 \pmod{5}$

Найдем остатки коэффициентов при делении на 5: $16 \equiv 1 \pmod{5}$, $5 \equiv 0 \pmod{5}$, $18 \equiv 3 \pmod{5}$. Подставим эти значения в сравнение:

$1 \cdot x^4 - 0 \cdot y^3 \equiv 3 \pmod{5}$

$x^4 \equiv 3 \pmod{5}$

Проверим, какие остатки могут давать четвертые степени целых чисел при делении на 5. Согласно Малой теореме Ферма, для любого целого $x$, не кратного 5, выполняется $x^{5-1} = x^4 \equiv 1 \pmod{5}$. Если же $x$ кратно 5, то $x \equiv 0 \pmod{5}$, и $x^4 \equiv 0^4 \equiv 0 \pmod{5}$. Таким образом, четвертая степень любого целого числа по модулю 5 может быть равна только 0 или 1. Сравнение $x^4 \equiv 3 \pmod{5}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: нет целочисленных решений.