Номер 27.25, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.25, страница 227.

Условие.

27.25. Числа $m$ и $n$ таковы, что $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod 7$. Докажите, что $m \equiv 0 \pmod 7$ и $n \equiv 0 \pmod 7$.

Решение.

По условию задачи дано, что $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$. Это означает, что сумма $m^2 + n^2$ делится нацело на 7.

Рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 7. Для любого целого числа $k$ его остаток при делении на 7 может быть одним из чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найдем остатки от деления на 7 для квадратов этих чисел:

• $0^2 = 0 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^2 = 1 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{7}$
• $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
• $4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
• $5^2 = 25 \equiv 4 \pmod{7}$
• $6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$

Таким образом, множество возможных остатков при делении квадрата целого числа на 7 есть $\{0, 1, 2, 4\}$.

Пусть остаток от деления $m^2$ на 7 равен $a$, а остаток от деления $n^2$ на 7 равен $b$. Тогда $a, b \in \{0, 1, 2, 4\}$. Из условия $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$ следует, что сумма остатков $a + b$ должна делиться на 7.

Проверим все возможные суммы $a+b$, где $a, b \in \{0, 1, 2, 4\}$. Сумма двух чисел из этого множества может делиться на 7 только в одном случае:

$0 + 0 = 0$.

Все остальные комбинации не дают в сумме числа, кратного 7 (например, $1+2=3$, $2+4=6$, $4+4=8\equiv1\pmod{7}$ и т.д.).

Следовательно, сравнение $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$ возможно только тогда, когда $m^2 \equiv 0 \pmod{7}$ и $n^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Если $m^2$ делится на 7, то, поскольку 7 — простое число, само число $m$ также должно делиться на 7. То есть $m \equiv 0 \pmod{7}$.

Аналогично, если $n^2$ делится на 7, то и $n$ должно делиться на 7. То есть $n \equiv 0 \pmod{7}$.

Таким образом, мы доказали, что из условия $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$ необходимо следует, что $m \equiv 0 \pmod{7}$ и $n \equiv 0 \pmod{7}$.

Ответ: Утверждение доказано.