Номер 27.20, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.20, страница 226.

Условие.

27.20. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1.

Решение.

Любое целое число может быть либо четным, либо нечетным. Чтобы доказать утверждение, рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Целое число является четным.

Пусть $n$ — четное целое число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Возведем $n$ в квадрат:$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Поскольку $k$ — целое число, то и $k^2$ является целым числом. Выражение $4k^2$ представляет собой число, которое делится на 4 без остатка. Следовательно, остаток от деления в этом случае равен 0.

Случай 2: Целое число является нечетным.

Пусть $n$ — нечетное целое число. Тогда его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Возведем $n$ в квадрат:$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$. В полученном выражении вынесем общий множитель 4 за скобки у первых двух слагаемых:$n^2 = 4(k^2 + k) + 1$. Так как $k$ — целое число, то сумма $k^2 + k$ также является целым числом. Обозначим это целое число как $m$. Тогда равенство примет вид:$n^2 = 4m + 1$. Это означает, что при делении квадрата нечетного числа $n^2$ на 4 в остатке получается 1.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные целые числа. Квадрат четного числа при делении на 4 дает в остатке 0, а квадрат нечетного числа — 1. Следовательно, квадрат любого целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.