Номер 27.13, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.13, страница 226.

Условие.

27.13. Число $b$ при делении на $5$ даёт в остатке $2$, а при делении на $3$ даёт в остатке $1$. Найдите остаток при делении числа $b$ на $15$.

Решение.

По условию задачи, число b при делении на 5 даёт в остатке 2. Это можно записать в виде системы сравнений. Первое условие:

$b \equiv 2 \pmod{5}$

Из этого сравнения следует, что число b можно представить в виде $b = 5k + 2$, где k — некоторое целое число.

Второе условие гласит, что число b при делении на 3 даёт в остатке 1:

$b \equiv 1 \pmod{3}$

Подставим выражение для b из первого условия во второе сравнение:

$5k + 2 \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь решим это сравнение относительно k. Для этого упростим коэффициенты по модулю 3. Так как $5 \equiv 2 \pmod{3}$, сравнение примет вид:

$2k + 2 \equiv 1 \pmod{3}$

Вычтем 2 из обеих частей сравнения:

$2k \equiv 1 - 2 \pmod{3}$

$2k \equiv -1 \pmod{3}$

Поскольку в арифметике по модулю 3 число -1 эквивалентно 2 (так как $-1 + 3 = 2$), получаем:

$2k \equiv 2 \pmod{3}$

Так как числа 2 и 3 взаимно просты, мы можем разделить обе части сравнения на 2:

$k \equiv 1 \pmod{3}$

Это означает, что k при делении на 3 даёт в остатке 1. Следовательно, k можно представить в виде $k = 3q + 1$, где q — некоторое целое число.

Теперь подставим это выражение для k обратно в формулу для b:

$b = 5k + 2 = 5(3q + 1) + 2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$b = 15q + 5 + 2$

$b = 15q + 7$

Из полученного равенства видно, что при делении числа b на 15 получается частное q и остаток 7.

Ответ: 7