Номер 27.16, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.16, страница 226.

Условие.

27.16. Вместо звёздочки запишите такое наименьшее неотрицательное целое число, чтобы полученное сравнение было верным:

1) $84 \equiv * \pmod 9$;

2) $-26 \equiv * \pmod 6$;

3) $* \equiv -3 \pmod{11}$.

Решение.

1) $84 \equiv * \pmod{9}$

Согласно определению сравнения по модулю, выражение $a \equiv b \pmod{m}$ означает, что разность $a - b$ делится нацело на $m$. Нам нужно найти наименьшее неотрицательное целое число, которое можно подставить вместо звёздочки. Такое число равно остатку от деления 84 на 9.

Выполним деление 84 на 9 с остатком:

$84 = 9 \cdot 9 + 3$

Частное равно 9, а остаток равен 3. Остаток и является искомым наименьшим неотрицательным числом.

Таким образом, $* = 3$.

Проверка: $84 - 3 = 81$. Число 81 делится на 9 без остатка ($81 \div 9 = 9$). Сравнение $84 \equiv 3 \pmod{9}$ верно.

Ответ: 3

2) $-26 \equiv * \pmod{6}$

Требуется найти наименьшее неотрицательное целое число, сравнимое с -26 по модулю 6. Это число является остатком от деления -26 на 6. Согласно теореме о делении с остатком, для любых целых чисел $a$ (делимое) и $m>0$ (делитель) существуют единственные целые $q$ (частное) и $r$ (остаток), такие что $a = m \cdot q + r$ и $0 \le r < m$.

В нашем случае $a = -26$ и $m = 6$. Подберем частное $q$ так, чтобы остаток $r$ был в диапазоне от 0 до 5.

$-26 = 6 \cdot (-5) + 4$

При $q=-5$ остаток $r=4$, что удовлетворяет условию $0 \le 4 < 6$.

Следовательно, $* = 4$.

Проверка: $-26 - 4 = -30$. Число -30 делится на 6 без остатка ($-30 \div 6 = -5$). Сравнение $-26 \equiv 4 \pmod{6}$ верно.

Ответ: 4

3) $* \equiv -3 \pmod{11}$

Нужно найти наименьшее неотрицательное целое число, которое при делении на 11 даёт тот же остаток, что и число -3. Это значит, что разность $* - (-3) = * + 3$ должна быть кратна 11.

Можно записать это в виде $* = 11k - 3$, где $k$ — некоторое целое число. Нам нужно найти наименьшее неотрицательное значение $*$.

Если $k = 0$, то $* = 11 \cdot 0 - 3 = -3$, что является отрицательным числом.

Если взять следующее целое значение $k = 1$, то $* = 11 \cdot 1 - 3 = 8$. Это и есть наименьшее неотрицательное решение.

Другой способ — прибавлять к числу -3 модуль 11 до тех пор, пока не получится неотрицательное число:

$-3 + 11 = 8$

Таким образом, $* = 8$.

Проверка: $8 - (-3) = 8 + 3 = 11$. Число 11 делится на 11. Сравнение $8 \equiv -3 \pmod{11}$ верно.

Ответ: 8