Номер 27.22, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.22, страница 227.

Условие.

27.22. Докажите, что куб целого числа при делении на 7 даёт в остатке 0, 1 или 6.

Решение.

Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть все возможные остатки от деления целого числа $n$ на 7. Любое целое число при делении на 7 может давать один из следующих остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Остаток от деления куба числа ($n^3$) на 7 будет равен остатку от деления на 7 куба остатка от деления $n$ на 7.

Вычислим кубы всех возможных остатков и найдем их остатки при делении на 7:

Если остаток от деления $n$ на 7 равен 0, то $0^3 = 0$. Остаток $n^3$ при делении на 7 равен 0.
Если остаток от деления $n$ на 7 равен 1, то $1^3 = 1$. Остаток $n^3$ при делении на 7 равен 1.
Если остаток от деления $n$ на 7 равен 2, то $2^3 = 8$. При делении 8 на 7 получаем остаток 1.
Если остаток от деления $n$ на 7 равен 3, то $3^3 = 27$. При делении 27 на 7 получаем остаток 6 ($27 = 3 \cdot 7 + 6$).
Если остаток от деления $n$ на 7 равен 4, то $4^3 = 64$. При делении 64 на 7 получаем остаток 1 ($64 = 9 \cdot 7 + 1$).
Если остаток от деления $n$ на 7 равен 5, то $5^3 = 125$. При делении 125 на 7 получаем остаток 6 ($125 = 17 \cdot 7 + 6$).
Если остаток от деления $n$ на 7 равен 6, то $6^3 = 216$. При делении 216 на 7 получаем остаток 6 ($216 = 30 \cdot 7 + 6$).

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и убедились, что куб целого числа при делении на 7 может давать в остатке только 0, 1 или 6, что и требовалось доказать.

Ответ: Возможные остатки от деления куба целого числа на 7 — это 0, 1 или 6.