Номер 27.19, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.19, страница 226.

Условие.

27.19. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1.

Решение.

Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать один из трёх возможных остатков: 0, 1 или 2. Следовательно, любое целое число можно представить в одном из трёх видов: $3k$, $3k+1$ или $3k+2$, где $k$ — некоторое целое число. Рассмотрим квадрат числа для каждого из этих случаев.

1. Если число имеет вид $n = 3k$, то его квадрат равен:
$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$.
Так как $3k^2$ является целым числом, то $n^2$ делится на 3 без остатка. Остаток равен 0.

2. Если число имеет вид $n = 3k + 1$, то его квадрат равен:
$n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$.
Так как $3k^2 + 2k$ является целым числом, то при делении $n^2$ на 3 в остатке получается 1.

3. Если число имеет вид $n = 3k + 2$, то его квадрат равен:
$n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$.
Так как $3k^2 + 4k + 1$ является целым числом, то при делении $n^2$ на 3 в остатке также получается 1.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и показали, что квадрат любого целого числа при делении на 3 даёт в остатке либо 0, либо 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.