Номер 27.17, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.17, страница 226.

Условие.

27.17. Известно, что $a \equiv -11 \pmod{8}$, $b \equiv -2 \pmod{8}$. Найдите остаток при делении на 8 числа:

1) $a+b$;

2) $a-b$;

3) $2a-3b$;

4) $ab$;

5) $a^2$;

6) $b^3$.

Решение.

Для решения задачи сначала найдем стандартные остатки для $a$ и $b$ при делении на 8. Остаток должен быть целым числом от 0 до 7.

Дано $a \equiv -11 \pmod{8}$. Чтобы найти соответствующий положительный остаток, мы можем прибавлять 8 к -11 до тех пор, пока не получим число в диапазоне [0, 7].
$-11 + 8 = -3$
$-3 + 8 = 5$
Таким образом, $a \equiv 5 \pmod{8}$.

Дано $b \equiv -2 \pmod{8}$.
$-2 + 8 = 6$
Таким образом, $b \equiv 6 \pmod{8}$.

Теперь, используя $a \equiv 5 \pmod{8}$ и $b \equiv 6 \pmod{8}$, найдем остатки для каждого выражения.

1) a + b
Используя свойства сравнений, складываем остатки:
$a + b \equiv 5 + 6 \pmod{8}$
$a + b \equiv 11 \pmod{8}$
Теперь найдем остаток от деления 11 на 8:
$11 = 1 \cdot 8 + 3$
Следовательно, $a + b \equiv 3 \pmod{8}$.
Ответ: 3

2) a - b
Вычитаем остатки:
$a - b \equiv 5 - 6 \pmod{8}$
$a - b \equiv -1 \pmod{8}$
Найдем положительный остаток: $-1 + 8 = 7$.
Следовательно, $a - b \equiv 7 \pmod{8}$.
Ответ: 7

3) 2a - 3b
Подставляем остатки в выражение:
$2a - 3b \equiv 2 \cdot 5 - 3 \cdot 6 \pmod{8}$
$2a - 3b \equiv 10 - 18 \pmod{8}$
$2a - 3b \equiv -8 \pmod{8}$
Так как $-8$ делится на 8 без остатка ($-8 = -1 \cdot 8 + 0$), то остаток равен 0.
Следовательно, $2a - 3b \equiv 0 \pmod{8}$.
Ответ: 0

4) ab
Перемножаем остатки:
$ab \equiv 5 \cdot 6 \pmod{8}$
$ab \equiv 30 \pmod{8}$
Найдем остаток от деления 30 на 8:
$30 = 3 \cdot 8 + 6$
Следовательно, $ab \equiv 6 \pmod{8}$.
Ответ: 6

5) a²
Возводим остаток в квадрат:
$a^2 \equiv 5^2 \pmod{8}$
$a^2 \equiv 25 \pmod{8}$
Найдем остаток от деления 25 на 8:
$25 = 3 \cdot 8 + 1$
Следовательно, $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$.
Ответ: 1

6) b³
Возводим остаток в куб:
$b^3 \equiv 6^3 \pmod{8}$
$b^3 \equiv 216 \pmod{8}$
Найдем остаток от деления 216 на 8:
$216 = 27 \cdot 8 + 0$
Следовательно, $b^3 \equiv 0 \pmod{8}$.
Альтернативное решение: можно использовать исходное сравнение $b \equiv -2 \pmod{8}$, так как с ним вычисления проще:
$b^3 \equiv (-2)^3 \pmod{8}$
$b^3 \equiv -8 \pmod{8}$
Так как $-8$ делится на 8, остаток равен 0.
Ответ: 0