Номер 27.11, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.11, страница 226.

Условие.

27.11. Число $n$ кратно 4. Чему может быть равен остаток при делении числа $n$ на 16?

Решение.

По условию задачи, число $n$ кратно 4. Это означает, что число $n$ можно представить в виде $n = 4k$, где $k$ — некоторое целое число.

Мы хотим найти возможные остатки при делении числа $n$ на 16. Согласно определению деления с остатком, любое число $n$ можно представить в виде:

$n = 16q + r$,

где $q$ — неполное частное (целое число), а $r$ — остаток, причем остаток должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 16$.

Так как у нас есть два выражения для $n$, мы можем их приравнять:

$4k = 16q + r$

Выразим из этого уравнения остаток $r$:

$r = 4k - 16q$

В правой части равенства можно вынести за скобку общий множитель 4:

$r = 4(k - 4q)$

Так как $k$ и $q$ — целые числа, то выражение $(k - 4q)$ также является целым числом. Это означает, что остаток $r$ должен быть кратен 4.

Теперь найдем все возможные значения для $r$, учитывая, что $r$ кратно 4 и $0 \le r < 16$. Такими значениями являются:

• 0 (так как $0 = 4 \times 0$)
• 4 (так как $4 = 4 \times 1$)
• 8 (так как $8 = 4 \times 2$)
• 12 (так как $12 = 4 \times 3$)

Следующее число, кратное 4, это 16, но оно уже не удовлетворяет условию $r < 16$.

Таким образом, остаток при делении числа $n$ на 16 может быть равен 0, 4, 8 или 12.

Ответ: 0, 4, 8, 12.