Номер 27.4, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.4, страница 226.

Условие.

27.4. Задайте все множества, каждое из которых состоит из всех целых чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на 4.

Решение.

При делении любого целого числа на 4 возможны четыре различных остатка: 0, 1, 2 и 3. Соответственно, множество всех целых чисел ($\mathbb{Z}$) можно разбить на четыре непересекающихся множества, каждое из которых объединяет числа с одинаковым остатком от деления на 4.

Множество чисел, дающих остаток 0 при делении на 4

Это множество состоит из всех целых чисел, которые делятся на 4 без остатка. Любое такое число $x$ можно представить в виде $x = 4k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Примеры чисел из этого множества: $...-8, -4, 0, 4, 8, ...$

Ответ: $\{x \mid x = 4k, k \in \mathbb{Z}\}$

Множество чисел, дающих остаток 1 при делении на 4

Это множество состоит из всех целых чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1. Любое такое число $x$ можно представить в виде $x = 4k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Примеры чисел из этого множества: $...-7, -3, 1, 5, 9, ...$

Ответ: $\{x \mid x = 4k + 1, k \in \mathbb{Z}\}$

Множество чисел, дающих остаток 2 при делении на 4

Это множество состоит из всех целых чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 2. Любое такое число $x$ можно представить в виде $x = 4k + 2$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Примеры чисел из этого множества: $...-6, -2, 2, 6, 10, ...$

Ответ: $\{x \mid x = 4k + 2, k \in \mathbb{Z}\}$

Множество чисел, дающих остаток 3 при делении на 4

Это множество состоит из всех целых чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 3. Любое такое число $x$ можно представить в виде $x = 4k + 3$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Примеры чисел из этого множества: $...-5, -1, 3, 7, 11, ...$

Ответ: $\{x \mid x = 4k + 3, k \in \mathbb{Z}\}$