Номер 27.2, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.2, страница 226.

Условие.

27.2. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $m$ на число $n$, если:

1) $m = 9, n = 15;$

2) $m = -31, n = 10;$

3) $m = -6, n = 11.$

Решение.

Деление с остатком целого числа m (делимое) на натуральное число n (делитель) означает нахождение таких целых чисел q (неполное частное) и r (остаток), которые удовлетворяют равенству:
$m = n \cdot q + r$
При этом остаток r должен удовлетворять условию $0 \le r < n$.

1) m = 9, n = 15;

Нам нужно найти такие целые числа q и r, что $9 = 15 \cdot q + r$, где $0 \le r < 15$.
Поскольку делимое $m=9$ меньше делителя $n=15$ и является положительным, неполное частное q будет равно 0.
Подставим $q = 0$ в формулу:
$9 = 15 \cdot 0 + r$
$9 = 0 + r$
$r = 9$
Проверим, выполняется ли условие для остатка: $0 \le 9 < 15$. Условие выполняется.
Следовательно, неполное частное равно 0, а остаток равен 9.
Ответ: неполное частное 0, остаток 9.

2) m = -31, n = 10;

Ищем целые числа q и r, для которых выполняется равенство $-31 = 10 \cdot q + r$ и условие $0 \le r < 10$.
Разделим -31 на 10: $-31 / 10 = -3.1$. Неполное частное q должно быть целым числом, не превосходящим $-3.1$. Ближайшее такое целое число — это -4.
Пусть $q = -4$. Подставим это значение в формулу:
$-31 = 10 \cdot (-4) + r$
$-31 = -40 + r$
$r = -31 + 40$
$r = 9$
Проверим условие для остатка: $0 \le 9 < 10$. Условие выполняется.
Таким образом, неполное частное равно -4, а остаток равен 9.
Ответ: неполное частное -4, остаток 9.

3) m = -6, n = 11.

Нам нужно найти целые числа q и r, удовлетворяющие равенству $-6 = 11 \cdot q + r$ и условию $0 \le r < 11$.
Разделим -6 на 11: $-6 / 11 \approx -0.54$. Неполное частное q должно быть целым числом, не превосходящим $-0.54$. Ближайшее такое целое число — это -1.
Пусть $q = -1$. Подставим это значение в формулу:
$-6 = 11 \cdot (-1) + r$
$-6 = -11 + r$
$r = -6 + 11$
$r = 5$
Проверим условие для остатка: $0 \le 5 < 11$. Условие выполняется.
Следовательно, неполное частное равно -1, а остаток равен 5.
Ответ: неполное частное -1, остаток 5.