Номер 27.1, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 27. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 27.1, страница 225.

Условие.

27.1. Найдите неполное частное и остаток при делении числа $a$ на число $b$, если:

1) $a = 253, b = 19;$

2) $a = 8, b = 13;$

3) $a = -26, b = 3;$

4) $a = -1, b = 7.$

Решение.

1) Деление с остатком числа $a$ на число $b$ означает представление числа $a$ в виде $a = bq + r$, где $q$ — неполное частное, а $r$ — остаток, причем должно выполняться неравенство $0 \le r < b$.
Для $a=253$ и $b=19$ выполним деление: $253 \div 19$.
$253 = 19 \cdot 13 + 6$.
Неполное частное $q=13$. Остаток $r=6$.
Проверяем условие для остатка: $0 \le 6 < 19$. Условие выполняется.
Ответ: неполное частное 13, остаток 6.

2) Для $a=8$ и $b=13$, мы ищем представление $8 = 13q + r$ с условием $0 \le r < 13$.
Поскольку $a < b$ и $a \ge 0$, неполное частное $q$ равно 0.
Тогда $8 = 13 \cdot 0 + r$, откуда остаток $r=8$.
Проверяем условие: $0 \le 8 < 13$. Условие выполняется.
Ответ: неполное частное 0, остаток 8.

3) Для $a=-26$ и $b=3$, мы ищем представление $-26 = 3q + r$ с условием $0 \le r < 3$.
При делении отрицательного числа остаток по определению должен быть неотрицательным.
Разделим $-26$ на $3$: $-26 \div 3 = -8.66...$.
Неполное частное $q$ должно быть целым числом, не большим, чем результат деления, то есть $q=-9$.
Найдем остаток: $r = a - bq = -26 - 3 \cdot (-9) = -26 + 27 = 1$.
Проверяем условие: $0 \le 1 < 3$. Условие выполняется.
Таким образом, $-26 = 3 \cdot (-9) + 1$.
Ответ: неполное частное -9, остаток 1.

4) Для $a=-1$ и $b=7$, мы ищем представление $-1 = 7q + r$ с условием $0 \le r < 7$.
Разделим $-1$ на $7$: $-1 \div 7 \approx -0.14...$.
Неполное частное $q$ должно быть целым числом, не большим, чем результат деления, то есть $q=-1$.
Найдем остаток: $r = a - bq = -1 - 7 \cdot (-1) = -1 + 7 = 6$.
Проверяем условие: $0 \le 6 < 7$. Условие выполняется.
Таким образом, $-1 = 7 \cdot (-1) + 6$.
Ответ: неполное частное -1, остаток 6.