Номер 26.34, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.34, страница 219.

Условие.

26.34. Шестизначное число $A = \overline{abcdef}$ кратно числу 37. Докажите, что число $B = \overline{bcdefa}$ также кратно числу 37.

Решение.

Пусть шестизначное число $A = \overline{abcdef}$. Его можно представить в виде: $A = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f$.

Число $B = \overline{bcdefa}$ можно записать как: $B = 100000b + 10000c + 1000d + 100e + 10f + a$.

Наша задача — установить связь между числами $A$ и $B$ и использовать условие кратности $A$ числу 37. Умножим число $A$ на 10: $10A = 10 \cdot (100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f) = 1000000a + 100000b + 10000c + 1000d + 100e + 10f$.

Перегруппируем слагаемые в выражении для $10A$, чтобы выделить число $B$: $10A = 1000000a + (100000b + 10000c + 1000d + 100e + 10f + a) - a$. Выражение в скобках в точности равно числу $B$. Таким образом, получаем: $10A = 1000000a + B - a$, $10A = 999999a + B$.

Из этого равенства выразим $B$: $B = 10A - 999999a$.

Теперь проанализируем это выражение с точки зрения делимости на 37. 1. По условию, число $A$ кратно 37. Это значит, что $A$ делится на 37. Следовательно, число $10A$ также делится на 37. 2. Рассмотрим число 999999. Его можно представить в виде произведения $999 \times 1001$. Проверим делимость числа 999 на 37: $999 = 27 \times 37$. Поскольку один из множителей (999) делится на 37, то и все произведение $999999$ делится на 37. Следовательно, число $999999a$ также кратно 37 для любой цифры $a$.

Итак, число $B$ является разностью двух чисел ($10A$ и $999999a$), каждое из которых кратно 37. Согласно свойствам делимости, разность двух чисел, кратных одному и тому же делителю, также кратна этому делителю. Следовательно, число $B$ кратно 37.

Ответ: Утверждение доказано. Если шестизначное число $A = \overline{abcdef}$ кратно 37, то число $B = \overline{bcdefa}$, полученное циклической перестановкой цифр, также кратно 37.