Номер 26.31, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.31, страница 219.

Условие.

26.31. Докажите, что количество делителей квадрата натурального числа — число нечётное. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Решение.

Доказательство того, что количество делителей квадрата натурального числа — нечётное

Пусть $n$ — произвольное натуральное число. Согласно основной теореме арифметики, его можно разложить на простые множители: $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — их натуральные степени.

Тогда квадрат этого числа, $n^2$, будет иметь следующее каноническое разложение: $n^2 = (p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} p_2^{2a_2} \cdots p_k^{2a_k}$.

Количество натуральных делителей числа (обозначим его как $\tau$) вычисляется по формуле, использующей показатели степеней в его каноническом разложении. Для числа $n^2$ количество делителей будет равно: $\tau(n^2) = (2a_1+1)(2a_2+1)\cdots(2a_k+1)$.

Каждый множитель в этом произведении имеет вид $2a_i+1$. Поскольку $a_i$ — целое неотрицательное число, $2a_i$ — всегда чётное число. Следовательно, сумма $2a_i+1$ — всегда нечётное число.

Произведение любого количества нечётных чисел всегда является нечётным числом. Таким образом, количество делителей $\tau(n^2)$ нечётно.

Ответ: Утверждение доказано. Количество делителей квадрата натурального числа всегда нечётно.

Формулировка и доказательство обратного утверждения

Формулировка обратного утверждения: Если натуральное число имеет нечётное количество делителей, то оно является полным квадратом (квадратом натурального числа).

Доказательство: Пусть $N$ — натуральное число, и количество его делителей, $\tau(N)$, нечётно. Представим число $N$ в виде канонического разложения на простые множители: $N = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$.

Количество его делителей $\tau(N)$ равно: $\tau(N) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$.

По условию, $\tau(N)$ — нечётное число. Произведение целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей нечётен. Следовательно, для любого $i$ от 1 до $k$, множитель $(a_i+1)$ должен быть нечётным.

Если $(a_i+1)$ — нечётное число, то показатель степени $a_i$ должен быть чётным числом (так как нечётное число минус один равно чётному). Таким образом, все показатели степеней $a_1, a_2, \ldots, a_k$ в каноническом разложении числа $N$ являются чётными.

Представим каждый показатель $a_i$ в виде $a_i = 2b_i$ для некоторого целого неотрицательного числа $b_i$. Тогда разложение числа $N$ можно переписать в виде: $N = p_1^{2b_1} p_2^{2b_2} \cdots p_k^{2b_k} = (p_1^{b_1})^2 (p_2^{b_2})^2 \cdots (p_k^{b_k})^2 = (p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots p_k^{b_k})^2$.

Обозначив $m = p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots p_k^{b_k}$, мы получаем, что $N = m^2$. Так как $m$ является натуральным числом, $N$ является квадратом натурального числа.

Ответ: Обратное утверждение, гласящее, что если натуральное число имеет нечётное количество делителей, то оно является полным квадратом, сформулировано и доказано.