Номер 26.26, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.26, страница 218.

Условие.

26.26. Натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $n^2 : (m + n)$. Докажите, что $m^3 : (m + n)$.

Решение.

По условию задачи, натуральные числа $m$ и $n$ таковы, что $n^2$ делится на $(m+n)$. Запишем это свойство как $n^2 \vdots (m+n)$. Требуется доказать, что $m^3 \vdots (m+n)$.

Для доказательства будем использовать свойство делимости: если два числа делятся на некоторое третье число, то их сумма и разность также делятся на это число.

1. Сначала докажем, что $mn$ делится на $(m+n)$.
Рассмотрим тождество $n^2 = n(m+n) - mn$. Выразим из него $mn$:$mn = n(m+n) - n^2$. В правой части этого равенства находится разность двух выражений. Первое, $n(m+n)$, очевидно делится на $(m+n)$. Второе, $n^2$, делится на $(m+n)$ по условию задачи. Следовательно, их разность $mn$ также должна делиться на $(m+n)$. Итак, мы установили, что $mn \vdots (m+n)$.

2. Теперь докажем, что $m^2$ делится на $(m+n)$.
Рассмотрим тождество $m^2 = m(m+n) - mn$. В правой части этого равенства находится разность двух выражений. Первое, $m(m+n)$, очевидно делится на $(m+n)$. Второе, $mn$, как мы только что доказали, также делится на $(m+n)$. Следовательно, их разность $m^2$ делится на $(m+n)$. Итак, мы установили, что $m^2 \vdots (m+n)$.

3. Наконец, докажем, что $m^3$ делится на $(m+n)$.
Рассмотрим тождество $m^3 = m^2(m+n) - m^2n$. Первый член в правой части, $m^2(m+n)$, очевидно делится на $(m+n)$. Рассмотрим второй член, $m^2n$. Из предыдущего шага мы знаем, что $m^2 \vdots (m+n)$. Это означает, что существует такое целое число $k$, что $m^2 = k(m+n)$. Тогда $m^2n = (k(m+n))n = kn(m+n)$, и это выражение очевидно делится на $(m+n)$.

Поскольку оба члена в правой части выражения для $m^3$ (то есть $m^2(m+n)$ и $m^2n$) делятся на $(m+n)$, их разность, равная $m^3$, также делится на $(m+n)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.