Номер 26.20, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.20, страница 218.

Условие.

26.20. Докажите, что при любых нечётных натуральных значениях $n (n > 1)$ значение выражения $1^n + 2^n + 3^n + \dots + 99^n$ кратно 100.

Решение.

Обозначим данное выражение через $S$: $S = 1^n + 2^n + 3^n + ... + 99^n$.

Требуется доказать, что $S$ кратно 100 для любого нечётного натурального $n > 1$. Для доказательства сгруппируем слагаемые в сумме.

Сгруппируем слагаемые попарно: первое с последним, второе с предпоследним и так далее. В сумме 99 слагаемых, поэтому мы получим 49 пар, и одно слагаемое, $50^n$, останется без пары:

$S = (1^n + 99^n) + (2^n + 98^n) + ... + (49^n + 51^n) + 50^n$.

По условию, $n$ — нечётное число. Для нечётных $n$ существует известная формула разложения суммы степеней: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + ... + b^{n-1})$. Из этой формулы следует, что при нечётном $n$ выражение $a^n + b^n$ делится на $a+b$.

Рассмотрим каждую пару в нашей сумме. Все они имеют вид $k^n + (100-k)^n$ для $k$ от 1 до 49. Сумма оснований для каждой такой пары равна $k + (100-k) = 100$.

Следовательно, каждая из 49 пар в выражении для $S$ делится на 100. Сумма этих пар также будет делиться на 100.

Теперь рассмотрим оставшийся член суммы, $50^n$. По условию $n$ — нечётное натуральное число и $n > 1$. Это означает, что наименьшее возможное значение для $n$ равно 3, то есть $n \ge 3$.

Для $n \ge 2$ выражение $50^n$ можно записать как $50^2 \cdot 50^{n-2}$.

$50^n = 2500 \cdot 50^{n-2} = (100 \cdot 25) \cdot 50^{n-2}$.

Поскольку $n \ge 3$, показатель степени $n-2$ не меньше 1, и $50^{n-2}$ является целым числом. Отсюда следует, что $50^n$ делится на 100.

Таким образом, исходная сумма $S$ является суммой двух слагаемых: суммы 49 пар и числа $50^n$. Оба эти слагаемых делятся на 100. Следовательно, и вся сумма $S$ делится на 100, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.