Номер 26.13, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.13, страница 218.

Условие.

26.13. Числа $m$, $n$, $k$ таковы, что $(m - n) : k$ и $mn : k$. Докажите, что

$(m^3 + n^3) : k$.

Решение.

По условию задачи, разность чисел $(m-n)$ и их произведение $mn$ делятся нацело на $k$. Нам необходимо доказать, что сумма кубов этих чисел, $(m^3+n^3)$, также делится на $k$.

Для доказательства воспользуемся формулой суммы кубов:
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$

Рассмотрим второй множитель в этом выражении: $(m^2 - mn + n^2)$. Преобразуем его, выделив полный квадрат разности $(m-n)^2$:
$m^2 - mn + n^2 = (m^2 - 2mn + n^2) + mn = (m - n)^2 + mn$

Теперь проанализируем делимость этого преобразованного выражения на $k$, используя данные из условия задачи:
1. Нам дано, что $(m-n)$ делится на $k$. Если число делится на $k$, то и его квадрат делится на $k$. Следовательно, $(m - n)^2$ делится на $k$.
2. Нам также дано, что произведение $mn$ делится на $k$.

Поскольку оба слагаемых в сумме $(m - n)^2 + mn$ делятся на $k$, то и вся сумма делится на $k$. Это означает, что выражение $(m^2 - mn + n^2)$ делится на $k$.

Вернемся к исходной формуле $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$. Мы установили, что второй множитель, $(m^2 - mn + n^2)$, является кратным $k$. Если в произведении целых чисел хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Следовательно, $(m^3+n^3)$ делится на $k$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.