Номер 26.14, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.14, страница 218.

Условие.

26.14. Решите в целых числах уравнение:

1) $9x^2 - y^2 = 6;$

2) $x^2 + 2xy = 2x + 9;$

3) $x^2 + 2xy - x - 2y = 4;$

4) $x^2 - 4xy + 3y^2 = 3;$

5) $x^2 + xy - 6y^2 = 6;$

6) $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14.$

Решение.

1) $9x^2 - y^2 = 6$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(3x)^2 - y^2 = 6$

$(3x - y)(3x + y) = 6$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(3x - y)$ и $(3x + y)$ также являются целыми числами. Следовательно, они должны быть делителями числа 6. Пусть $a = 3x - y$ и $b = 3x + y$.

Заметим, что сумма этих двух множителей $a + b = (3x - y) + (3x + y) = 6x$ является четным числом. Сумма двух целых чисел $a$ и $b$ четна тогда и только тогда, когда оба числа имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Рассмотрим пары целочисленных делителей числа 6: $(\pm 1, \pm 6)$ и $(\pm 2, \pm 3)$.

В парах $(\pm 1, \pm 6)$ одно число нечетное, а другое четное. Их сумма будет нечетной.

В парах $(\pm 2, \pm 3)$ одно число четное, а другое нечетное. Их сумма также будет нечетной.

Таким образом, не существует пары делителей числа 6, которые имели бы одинаковую четность. Это означает, что система уравнений

$\begin{cases} 3x - y = a \\ 3x + y = b \end{cases}$

не имеет решений в целых числах $x$ и $y$, так как не существует подходящих пар $a$ и $b$.

Ответ: решений в целых числах нет.

2) $x^2 + 2xy = 2x + 9$

Перенесем член $2x$ в левую часть и вынесем $x$ за скобки:

$x^2 + 2xy - 2x = 9$

$x(x + 2y - 2) = 9$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x$ должен быть целым делителем числа 9. Делителями числа 9 являются $\pm 1, \pm 3, \pm 9$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Если $x = 1$, то $1(1 + 2y - 2) = 9 \implies 2y - 1 = 9 \implies 2y = 10 \implies y = 5$. Получаем решение $(1, 5)$.

2. Если $x = -1$, то $-1(-1 + 2y - 2) = 9 \implies -(2y - 3) = 9 \implies 2y - 3 = -9 \implies 2y = -6 \implies y = -3$. Получаем решение $(-1, -3)$.

3. Если $x = 3$, то $3(3 + 2y - 2) = 9 \implies 2y + 1 = 3 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. Получаем решение $(3, 1)$.

4. Если $x = -3$, то $-3(-3 + 2y - 2) = 9 \implies 2y - 5 = -3 \implies 2y = 2 \implies y = 1$. Получаем решение $(-3, 1)$.

5. Если $x = 9$, то $9(9 + 2y - 2) = 9 \implies 2y + 7 = 1 \implies 2y = -6 \implies y = -3$. Получаем решение $(9, -3)$.

6. Если $x = -9$, то $-9(-9 + 2y - 2) = 9 \implies 2y - 11 = -1 \implies 2y = 10 \implies y = 5$. Получаем решение $(-9, 5)$.

Ответ: $(1, 5), (-1, -3), (3, 1), (-3, 1), (9, -3), (-9, 5)$.

3) $x^2 + 2xy - x - 2y = 4$

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$(x^2 - x) + (2xy - 2y) = 4$

$x(x - 1) + 2y(x - 1) = 4$

$(x - 1)(x + 2y) = 4$

Множители $(x - 1)$ и $(x + 2y)$ являются целыми числами, их произведение равно 4. Следовательно, они являются парами делителей числа 4. Делители 4: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Пусть $a = x - 1$ и $b = x + 2y$. Тогда $x = a + 1$. Подставим это во второе равенство: $b = (a + 1) + 2y$, откуда $2y = b - a - 1$. Для того чтобы $y$ был целым, выражение $b - a - 1$ должно быть четным, а это значит, что $b - a$ должно быть нечетным. Это возможно, только если $a$ и $b$ имеют разную четность.

Рассмотрим пары делителей числа 4, имеющие разную четность:

1. $a = 1, b = 4$. $b-a=3$ (нечетное). $x = 1 + 1 = 2$. $2y = 4 - 1 - 1 = 2 \implies y = 1$. Решение $(2, 1)$.

2. $a = -1, b = -4$. $b-a=-3$ (нечетное). $x = -1 + 1 = 0$. $2y = -4 - (-1) - 1 = -4 \implies y = -2$. Решение $(0, -2)$.

3. $a = 4, b = 1$. $b-a=-3$ (нечетное). $x = 4 + 1 = 5$. $2y = 1 - 4 - 1 = -4 \implies y = -2$. Решение $(5, -2)$.

4. $a = -4, b = -1$. $b-a=3$ (нечетное). $x = -4 + 1 = -3$. $2y = -1 - (-4) - 1 = 2 \implies y = 1$. Решение $(-3, 1)$.

Пары $(\pm 2, \pm 2)$ состоят из чисел одинаковой четности, поэтому они не приводят к целым решениям для $y$.

Ответ: $(2, 1), (0, -2), (5, -2), (-3, 1)$.

4) $x^2 - 4xy + 3y^2 = 3$

Разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно $x$:

$x^2 - (y + 3y)x + 3y^2 = 3$

$x^2 - yx - 3yx + 3y^2 = 3$

$x(x-y) - 3y(x-y) = 3$

$(x - y)(x - 3y) = 3$

Множители $(x - y)$ и $(x - 3y)$ являются целыми числами, их произведение равно 3. Делители 3: $\pm 1, \pm 3$.

Пусть $a = x - y$ и $b = x - 3y$. Вычтем второе уравнение из первого: $a - b = (x - y) - (x - 3y) = 2y$. Так как $y$ — целое число, $a-b$ должно быть четным. Это означает, что $a$ и $b$ должны иметь одинаковую четность. Поскольку их произведение $ab=3$ нечетно, то оба числа $a$ и $b$ должны быть нечетными. Все делители числа 3 нечетные, поэтому все комбинации подходят.

Рассмотрим системы уравнений:

1. $\begin{cases} x - y = 1 \\ x - 3y = 3 \end{cases}$. Вычитая второе из первого, получаем $2y = -2 \implies y = -1$. Тогда $x = 1 + y = 0$. Решение $(0, -1)$.

2. $\begin{cases} x - y = 3 \\ x - 3y = 1 \end{cases}$. Вычитая, получаем $2y = 2 \implies y = 1$. Тогда $x = 3 + y = 4$. Решение $(4, 1)$.

3. $\begin{cases} x - y = -1 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$. Вычитая, получаем $2y = 2 \implies y = 1$. Тогда $x = -1 + y = 0$. Решение $(0, 1)$.

4. $\begin{cases} x - y = -3 \\ x - 3y = -1 \end{cases}$. Вычитая, получаем $2y = -2 \implies y = -1$. Тогда $x = -3 + y = -4$. Решение $(-4, -1)$.

Ответ: $(0, -1), (4, 1), (0, 1), (-4, -1)$.

5) $x^2 + xy - 6y^2 = 6$

Разложим левую часть уравнения на множители:

$x^2 + 3xy - 2xy - 6y^2 = 6$

$x(x + 3y) - 2y(x + 3y) = 6$

$(x + 3y)(x - 2y) = 6$

Множители $(x + 3y)$ и $(x - 2y)$ являются целыми числами. Пусть $a = x + 3y$ и $b = x - 2y$. Тогда $ab=6$.

Выразим $y$ через $a$ и $b$: $a - b = (x + 3y) - (x - 2y) = 5y$. Следовательно, разность $a - b$ должна быть кратна 5.

Рассмотрим пары целочисленных делителей числа 6: $(\pm 1, \pm 6), (\pm 2, \pm 3)$.

1. $a = 1, b = 6 \implies a - b = -5$. $5y = -5 \implies y = -1$. $x = b + 2y = 6 + 2(-1) = 4$. Решение $(4, -1)$.

2. $a = 6, b = 1 \implies a - b = 5$. $5y = 5 \implies y = 1$. $x = b + 2y = 1 + 2(1) = 3$. Решение $(3, 1)$.

3. $a = -1, b = -6 \implies a - b = 5$. $5y = 5 \implies y = 1$. $x = b + 2y = -6 + 2(1) = -4$. Решение $(-4, 1)$.

4. $a = -6, b = -1 \implies a - b = -5$. $5y = -5 \implies y = -1$. $x = b + 2y = -1 + 2(-1) = -3$. Решение $(-3, -1)$.

Другие пары делителей (например, $(2, 3)$) не дают разность, кратную 5.

Ответ: $(4, -1), (3, 1), (-4, 1), (-3, -1)$.

6) $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14$

Попытаемся разложить левую часть на множители. Квадратичная часть $x^2 - 2xy - 3y^2$ раскладывается как $(x - 3y)(x + y)$. Попробуем найти разложение вида $(x - 3y + a)(x + y + b)$.

$(x - 3y + a)(x + y + b) = (x - 3y)(x + y) + b(x - 3y) + a(x + y) + ab$

$= x^2 - 2xy - 3y^2 + (a+b)x + (a-3b)y + ab$

Сравнивая с исходным уравнением $x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y = 14$, получаем систему для коэффициентов:

$\begin{cases} a+b = 1 \\ a-3b = 1 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $4b = 0 \implies b=0$. Тогда $a=1$.

Таким образом, левая часть уравнения (без константы) может быть представлена в виде $(x - 3y + 1)(x + y)$. Проверим:

$(x - 3y + 1)(x + y) = x^2 + xy - 3xy - 3y^2 + x + y = x^2 - 2xy - 3y^2 + x + y$.

Это совпадает с левой частью исходного уравнения. Значит, уравнение можно переписать в виде:

$(x - 3y + 1)(x + y) = 14$

Пусть $A = x - 3y + 1$ и $B = x + y$. $A$ и $B$ — целые числа, являющиеся делителями 14. Делители 14: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.

Выразим $y$ через $A$ и $B$. Вычтем $A$ из $B$: $B - A = (x+y) - (x-3y+1) = 4y-1$.

Отсюда $4y = B - A + 1$. Значит, выражение $B - A + 1$ должно быть кратно 4.

Рассмотрим пары делителей $(A, B)$ числа 14:

1. $(A, B) = (14, 1)$. $B - A + 1 = 1 - 14 + 1 = -12$. $-12$ кратно 4. $4y = -12 \implies y = -3$. $x = B - y = 1 - (-3) = 4$. Решение $(4, -3)$.

2. $(A, B) = (7, 2)$. $B - A + 1 = 2 - 7 + 1 = -4$. $-4$ кратно 4. $4y = -4 \implies y = -1$. $x = B - y = 2 - (-1) = 3$. Решение $(3, -1)$.

3. $(A, B) = (-1, -14)$. $B - A + 1 = -14 - (-1) + 1 = -12$. $-12$ кратно 4. $4y = -12 \implies y = -3$. $x = B - y = -14 - (-3) = -11$. Решение $(-11, -3)$.

4. $(A, B) = (-2, -7)$. $B - A + 1 = -7 - (-2) + 1 = -4$. $-4$ кратно 4. $4y = -4 \implies y = -1$. $x = B - y = -7 - (-1) = -6$. Решение $(-6, -1)$.

Другие пары делителей (например, $(1, 14)$) не удовлетворяют условию кратности 4 для $B-A+1$.

Ответ: $(4, -3), (3, -1), (-11, -3), (-6, -1)$.