Номер 26.11, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.11, страница 218.

Условие.

26.11. Числа $a$, $b$, $m$ таковы, что $am : (a + b)$. Докажите, что $bm : (a + b)$.

Решение.

По условию задачи, выражение $am$ делится нацело на $(a + b)$. Согласно определению делимости, это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство: $am = k(a + b)$.

Нам необходимо доказать, что выражение $bm$ также делится нацело на $(a + b)$.

Рассмотрим выражение $bm$. Мы можем преобразовать его, используя известное тождество, связывающее $b$, $a$ и сумму $(a+b)$: $b = (a + b) - a$.

Подставим это в выражение $bm$: $bm = ((a + b) - a)m$.

Раскроем скобки: $bm = (a + b)m - am$.

Теперь проанализируем правую часть полученного равенства. Она представляет собой разность двух слагаемых.

Первое слагаемое, $(a + b)m$, очевидно, делится на $(a + b)$, так как является произведением $(a + b)$ на целое число $m$.

Второе слагаемое, $am$, делится на $(a + b)$ по условию задачи.

Воспользуемся свойством делимости: если два числа делятся на некоторое третье число, то и их разность также делится на это число.

Поскольку и $(a + b)m$, и $am$ делятся на $(a + b)$, то их разность, которая равна $bm$, также должна делиться на $(a + b)$.

Это можно показать и более формально, подставив в наше равенство выражение для $am$ из первого шага: $bm = (a + b)m - k(a + b)$.

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки: $bm = (m - k)(a + b)$.

Так как $m$ и $k$ — целые числа (по условию и по определению делимости), то их разность $m - k$ также является целым числом. Пусть $l = m - k$.

Тогда $bm = l(a + b)$, где $l$ — целое число. Это по определению означает, что $bm$ делится на $(a + b)$ без остатка.

Ответ: Что и требовалось доказать.