Номер 26.8, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.8, страница 217.

Условие.

26.8. Числа $a$ и $b$ таковы, что каждое из чисел $a + 3$ и $b + 29$ кратно 13.

Докажите, что число $a - b$ кратно 13.

Решение.

По условию задачи, число $a + 3$ кратно 13. Это означает, что существует такое целое число $k$, для которого выполняется равенство:

$a + 3 = 13k$

Отсюда мы можем выразить $a$:

$a = 13k - 3$

Аналогично, по условию, число $b + 29$ кратно 13. Это означает, что существует такое целое число $m$, для которого выполняется равенство:

$b + 29 = 13m$

Отсюда выразим $b$:

$b = 13m - 29$

Теперь найдем разность $a - b$, подставив полученные выражения для $a$ и $b$:

$a - b = (13k - 3) - (13m - 29)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a - b = 13k - 3 - 13m + 29 = 13k - 13m + 26$

В полученном выражении вынесем общий множитель 13 за скобки:

$a - b = 13(k - m + 2)$

Поскольку $k$ и $m$ являются целыми числами, то выражение в скобках $(k - m + 2)$ также является целым числом. Если мы обозначим это целое число как $n = k - m + 2$, то получим:

$a - b = 13n$

Это равенство по определению означает, что число $a - b$ делится на 13 без остатка, то есть кратно 13. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.