Номер 26.5, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - номер 26.5, страница 217.

Условие.

26.5. Числа $c$ и $d$ таковы, что $c:4$, $d:6$. Докажите, что $(6c+4d):24$.

Решение.

По условию задачи, число $c$ делится на $4$, а число $d$ — на $6$. Это значит, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что:

$c = 4k$

$d = 6m$

Рассмотрим выражение $6c + 4d$. Подставим в него выражения для $c$ и $d$:

$6c + 4d = 6(4k) + 4(6m) = 24k + 24m$

Вынесем общий множитель $24$ за скобки:

$24(k + m)$

Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то их сумма $(k + m)$ также является целым числом. Обозначим эту сумму как $N = k + m$, где $N$ — целое число.

Таким образом, выражение $6c + 4d$ можно представить в виде $24N$. Так как оно является произведением числа $24$ и целого числа $N$, то, по определению, оно делится на $24$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Так как $c = 4k$ и $d = 6m$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$, то $6c + 4d = 6(4k) + 4(6m) = 24k + 24m = 24(k+m)$. Поскольку $(k+m)$ — целое число, выражение $6c+4d$ делится на $24$.