Вопросы?, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 5. Основы теории делимости. Параграф 26. Делимость нацело и её свойства - страница 217.

Условие.

1. В каком случае говорят, что целое число $a$ делится нацело на целое число $b$?

2. Что означает запись $a : b$?

3. Какое число называют делителем числа $a$?

4. Какое число называют кратным числа $b$?

5. Сформулируйте свойства делимости нацело.

Решение.

1. В каком случае говорят, что целое число a делится нацело на целое число b?

Говорят, что целое число $a$ делится нацело на целое число $b$ (при $b \ne 0$), если существует такое целое число $c$, что выполняется равенство $a = b \cdot c$. Иными словами, деление числа $a$ на число $b$ происходит без остатка.

Ответ: Если существует такое целое число $c$, что $a = b \cdot c$.

2. Что означает запись a ⋮ b?

Запись $a \vdots b$ является математическим обозначением делимости нацело и читается как «$a$ делится на $b$» или «$a$ кратно $b$». Эта запись означает то же самое, что и определение в первом пункте: существует такое целое число $c$, что $a = b \cdot c$.

Ответ: Запись $a \vdots b$ означает, что число $a$ делится нацело на число $b$.

3. Какое число называют делителем числа a?

Делителем целого числа $a$ называют такое целое число $b$ ($b \ne 0$), на которое число $a$ делится без остатка. Если $a \vdots b$, то $b$ является делителем числа $a$. Например, делителями числа 12 являются числа 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.

Ответ: Целое число $b$, на которое число $a$ делится нацело.

4. Какое число называют кратным числа b?

Кратным целого числа $b$ называют такое целое число $a$, которое делится нацело на $b$. Иначе говоря, число $a$ является кратным числа $b$, если его можно представить в виде произведения $a = b \cdot c$, где $c$ — некоторое целое число. Например, числа 10, 15, 20 являются кратными числа 5.

Ответ: Целое число $a$, которое делится нацело на число $b$.

5. Сформулируйте свойства делимости нацело.

Основные свойства делимости целых чисел:

• Любое целое число $a \ne 0$ делится само на себя: $a \vdots a$.
• Любое целое число $a$ делится на 1: $a \vdots 1$.
• Ноль делится на любое целое число $b \ne 0$: $0 \vdots b$.
• Если $a \vdots b$ и $b \vdots c$, то $a \vdots c$ (свойство транзитивности). Например, если число делится на 12, то оно делится и на 4, так как 12 делится на 4.
• Если $a \vdots c$ и $b \vdots c$, то их сумма $(a+b)$ и разность $(a-b)$ также делятся на $c$. Например, 15 делится на 3 и 9 делится на 3, значит, их сумма (15+9=24) и разность (15-9=6) также делятся на 3.
• Если $a \vdots b$, то произведение $a \cdot c$ делится на $b$ для любого целого числа $c$. Например, 10 делится на 5, значит и $10 \cdot 3 = 30$ тоже делится на 5.
• Если $a \vdots b$ и $b \vdots a$, то $|a| = |b|$.

Ответ: Основные свойства делимости: рефлексивность ($a \vdots a$), транзитивность (если $a \vdots b$ и $b \vdots c$, то $a \vdots c$), делимость суммы, разности и произведения (если $a \vdots c$ и $b \vdots c$, то $(a \pm b) \vdots c$; если $a \vdots b$, то $(ac) \vdots b$).