Номер 25.25, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.25, страница 212.

Условие.

25.25. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани A, скорость катера в стоячей воде равна 12 км/ч, а расстояние между пристанями A и B равно 32 км.

Решение.

Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $V_{плота} = x$ км/ч.

Собственная скорость катера равна 12 км/ч. Катер движется от пристани В к пристани А, то есть против течения реки. Следовательно, его скорость относительно берега равна $V_{катера} = (12 - x)$ км/ч. При этом очевидно, что для движения против течения собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть $12 - x > 0$, откуда $x < 12$.

Плот и катер встретились на расстоянии 14 км от пристани А. Это означает, что плот проплыл расстояние $S_{плота} = 14$ км.

Расстояние между пристанями А и В равно 32 км. Значит, до места встречи катер проплыл расстояние $S_{катера} = 32 - 14 = 18$ км.

Время, которое плот был в пути до встречи, составляет $t_{плота} = \frac{S_{плота}}{V_{плота}} = \frac{14}{x}$ ч.

Время, которое катер был в пути до встречи, составляет $t_{катера} = \frac{S_{катера}}{V_{катера}} = \frac{18}{12-x}$ ч.

По условию, катер отправился через 2 ч 40 мин после отправления плота. Переведем это время в часы:$2 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 2 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{8}{3} \text{ ч}$.

Это означает, что плот находился в пути на $\frac{8}{3}$ часа дольше, чем катер. На основании этого составим уравнение:$$ t_{плота} - t_{катера} = \frac{8}{3} $$$$ \frac{14}{x} - \frac{18}{12-x} = \frac{8}{3} $$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $3x(12-x)$, при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 12$:$$ 14 \cdot 3(12-x) - 18 \cdot 3x = 8x(12-x) $$$$ 42(12-x) - 54x = 96x - 8x^2 $$$$ 504 - 42x - 54x = 96x - 8x^2 $$$$ 504 - 96x = 96x - 8x^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$$ 8x^2 - 96x - 96x + 504 = 0 $$$$ 8x^2 - 192x + 504 = 0 $$

Разделим все уравнение на 8 для упрощения:$$ x^2 - 24x + 63 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна 24, а их произведение равно 63. Легко подобрать корни:$$ x_1 = 3 $$$$ x_2 = 21 $$

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию задачи. Мы установили, что скорость течения должна быть меньше собственной скорости катера, то есть $x < 12$.

Корень $x_2 = 21$ не удовлетворяет этому условию ($21 > 12$), поэтому он является посторонним.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 < 12$). Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.