Номер 25.21, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.21, страница 211.

Условие.

25.21. Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покрасить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его сменил второй, проработавший 2 ч, то оказалось, что покрашено 40 % фасада. За какое время может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно?

Решение.

Пусть время, за которое второй маляр может покрасить весь фасад самостоятельно, равно $x$ часов. Поскольку первому маляру требуется на 5 часов больше, то его время работы составит $(x+5)$ часов.

Производительность труда (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем всю работу за 1. Тогда производительность первого маляра равна $\frac{1}{x+5}$ фасада в час, а производительность второго маляра — $\frac{1}{x}$ фасада в час.

Согласно условию, первый маляр работал 3 часа, а затем второй маляр работал 2 часа. За 3 часа первый маляр выполнил часть работы, равную $3 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{3}{x+5}$. За 2 часа второй маляр выполнил часть работы, равную $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Вместе они покрасили 40% фасада, что в долях составляет $40\% = \frac{40}{100} = 0.4 = \frac{2}{5}$. Составим уравнение, сложив объемы выполненных работ: $$ \frac{3}{x+5} + \frac{2}{x} = \frac{2}{5} $$

Решим это уравнение. Найдем общий знаменатель $5x(x+5)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая, что $x > 0$. $$ 5x \cdot 3 + 5(x+5) \cdot 2 = 2x(x+5) $$ $$ 15x + 10(x+5) = 2x^2 + 10x $$ $$ 15x + 10x + 50 = 2x^2 + 10x $$ $$ 25x + 50 = 2x^2 + 10x $$ Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ 2x^2 + 10x - 25x - 50 = 0 $$ $$ 2x^2 - 15x - 50 = 0 $$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625 $$ $$ \sqrt{D} = \sqrt{625} = 25 $$ Найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $$

Так как время $x$ не может быть отрицательным, корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи. Следовательно, время работы второго маляра составляет 10 часов.

Время работы первого маляра: $$ x + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ часов} $$

Ответ: первый маляр может покрасить фасад за 15 часов, а второй маляр — за 10 часов.