Номер 25.16, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.16, страница 211.

Условие.

25.16. Турист проплыл на байдарке 4 км по озеру и 5 км по течению реки за то же время, за которое он проплыл бы 6 км против течения. С какой скоростью турист плыл по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость байдарки, то есть скорость туриста в стоячей воде (по озеру). Это искомая величина.

По условию, скорость течения реки равна 2 км/ч. Тогда скорость туриста по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость против течения реки — $(x - 2)$ км/ч.

Время, которое турист затратил на путь 4 км по озеру, равно $t_1 = \frac{4}{x}$ ч. Время, которое турист затратил на путь 5 км по течению реки, равно $t_2 = \frac{5}{x+2}$ ч. Общее время первого путешествия составляет $T_1 = t_1 + t_2 = \frac{4}{x} + \frac{5}{x+2}$ ч.

Время, которое турист затратил бы на путь 6 км против течения, равно $T_2 = \frac{6}{x-2}$ ч.

По условию задачи, эти промежутки времени равны: $T_1 = T_2$. Составим и решим уравнение:

$$\frac{4}{x} + \frac{5}{x+2} = \frac{6}{x-2}$$

Заметим, что по физическому смыслу задачи скорость $x$ должна быть больше скорости течения, иначе турист не смог бы плыть против течения. Таким образом, $x > 2$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$$\frac{4(x+2) + 5x}{x(x+2)} = \frac{6}{x-2}$$

$$\frac{4x + 8 + 5x}{x(x+2)} = \frac{6}{x-2}$$

$$\frac{9x + 8}{x^2 + 2x} = \frac{6}{x-2}$$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$$(9x + 8)(x - 2) = 6(x^2 + 2x)$$

Раскроем скобки:

$$9x^2 - 18x + 8x - 16 = 6x^2 + 12x$$

$$9x^2 - 10x - 16 = 6x^2 + 12x$$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$$9x^2 - 6x^2 - 10x - 12x - 16 = 0$$

$$3x^2 - 22x - 16 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 484 + 192 = 676$$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{22 \pm 26}{6}$$

$$x_1 = \frac{22 + 26}{6} = \frac{48}{6} = 8$$

$$x_2 = \frac{22 - 26}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$

Корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию $x > 2$, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, единственным решением, имеющим физический смысл, является $x_1 = 8$.

Проверим:

Время движения по озеру и по течению: $\frac{4}{8} + \frac{5}{8+2} = 0.5 + \frac{5}{10} = 0.5 + 0.5 = 1$ час.

Время движения против течения: $\frac{6}{8-2} = \frac{6}{6} = 1$ час.

Время совпадает, значит, решение верное.

Ответ: скорость, с которой турист плыл по озеру, равна 8 км/ч.