Номер 25.12, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.12, страница 210.

Условие.

25.12. Катер прошёл 45 км по течению реки и 28 км против течения, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера составляла 18 км/ч.

Решение.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера составляет 18 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $(18 + x)$ км/ч, а скорость катера против течения реки равна $(18 - x)$ км/ч.

По условию, катер прошёл 45 км по течению реки. Время, затраченное на этот путь, составляет:$t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{45}{18 + x}$ ч.

Затем катер прошёл 28 км против течения реки. Время, затраченное на этот путь, составляет:$t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{28}{18 - x}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 4 ч. Составим уравнение:$t_1 + t_2 = 4$$\frac{45}{18 + x} + \frac{28}{18 - x} = 4$

При решении этого уравнения следует учесть, что скорость течения $x$ должна быть положительной, а также скорость катера против течения должна быть положительной, т.е. $18 - x > 0$. Отсюда следует, что $0 < x < 18$.

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(18 + x)(18 - x)$:$\frac{45(18 - x) + 28(18 + x)}{(18 + x)(18 - x)} = 4$

Раскроем скобки в числителе и умножим обе части уравнения на знаменатель, учитывая, что он не равен нулю при $0 < x < 18$:$45 \cdot 18 - 45x + 28 \cdot 18 + 28x = 4(18^2 - x^2)$$810 - 45x + 504 + 28x = 4(324 - x^2)$$1314 - 17x = 1296 - 4x^2$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$4x^2 - 17x + 1314 - 1296 = 0$$4x^2 - 17x + 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 289 - 288 = 1$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 1}{8} = \frac{16}{8} = 2$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 1}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25$

Оба найденных значения удовлетворяют условию $0 < x < 18$. Следовательно, задача имеет два решения. Скорость течения реки может быть равна 2 км/ч или 2,25 км/ч.

Проверим оба корня:1. Если $x=2$ км/ч:Время по течению: $\frac{45}{18+2} = \frac{45}{20} = 2.25$ ч. Время против течения: $\frac{28}{18-2} = \frac{28}{16} = 1.75$ ч. Общее время: $2.25 + 1.75 = 4$ ч. (Верно)

2. Если $x=2.25$ км/ч:Время по течению: $\frac{45}{18+2.25} = \frac{45}{20.25} = \frac{45}{81/4} = \frac{45 \cdot 4}{81} = \frac{5 \cdot 4}{9} = \frac{20}{9}$ ч. Время против течения: $\frac{28}{18-2.25} = \frac{28}{15.75} = \frac{28}{63/4} = \frac{28 \cdot 4}{63} = \frac{4 \cdot 4}{9} = \frac{16}{9}$ ч. Общее время: $\frac{20}{9} + \frac{16}{9} = \frac{36}{9} = 4$ ч. (Верно)

Ответ: 2 км/ч или 2,25 км/ч.