Номер 25.8, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.8, страница 210.

Условие.

25.8. Рабочий должен был за определенное время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?

Решение.

Пусть $t$ — это количество дней, за которое рабочий фактически выполнил работу. По условию, это на 3 дня раньше срока, значит, планируемое время работы составляет $t + 3$ дня.

Пусть $x$ — это фактическая производительность рабочего, то есть количество деталей, которое он изготавливал в день. По условию, это на 4 детали больше, чем планировалось, значит, плановая производительность составляет $x - 4$ детали в день.

Всего рабочий должен был изготовить 72 детали.

Основываясь на фактических данных, можно составить уравнение:
$x \cdot t = 72$

Основываясь на плановых данных, можно составить второе уравнение:
$(x - 4)(t + 3) = 72$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} x \cdot t = 72 \\ (x - 4)(t + 3) = 72 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = \frac{72}{t}$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
$\left(\frac{72}{t} - 4\right)(t + 3) = 72$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$\frac{72}{t} \cdot t + 3 \cdot \frac{72}{t} - 4 \cdot t - 4 \cdot 3 = 72$
$72 + \frac{216}{t} - 4t - 12 = 72$

Вычтем 72 из обеих частей уравнения и упростим:
$\frac{216}{t} - 4t - 12 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $t$ (так как $t$ — это количество дней, $t \neq 0$):
$216 - 4t^2 - 12t = 0$

Разделим все уравнение на -4 и запишем его в стандартном виде квадратного уравнения:
$t^2 + 3t - 54 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: произведение корней равно -54, а их сумма равна -3. Подбираем корни:
$t_1 = 6$
$t_2 = -9$

Поскольку $t$ представляет собой количество дней, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $t = -9$ является посторонним. Единственное подходящее решение — $t = 6$.

Таким образом, рабочий выполнил работу за 6 дней.

Ответ: 6.