Номер 25.4, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 25. Математическое моделирование - номер 25.4, страница 210.

Условие.

25.4. Из села Вишнёвое в село Яблоневое, расстояние между которыми равно 15 км, всадник проскакал с некоторой скоростью, а возвращался со скоростью на $3 \text{ км/ч}$ большей и потратил на 15 мин меньше, чем на путь из Вишнёвого в Яблоневое. Найдите первоначальную скорость всадника.

Решение.

Пусть первоначальная скорость всадника равна $v$ км/ч. Тогда на путь из села Вишнёвое в село Яблоневое он затратил время $t_1 = \frac{15}{v}$ часов.

На обратном пути его скорость была на 3 км/ч больше, то есть $(v+3)$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{15}{v+3}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь всадник потратил на 15 минут меньше. Переведем 15 минут в часы:

$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Разница во времени составляет:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{4}$

Составим и решим уравнение:

$\frac{15}{v} - \frac{15}{v+3} = \frac{1}{4}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+3)$:

$\frac{15(v+3) - 15v}{v(v+3)} = \frac{1}{4}$

$\frac{15v + 45 - 15v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{4}$

$\frac{45}{v^2 + 3v} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$v^2 + 3v = 45 \cdot 4$

$v^2 + 3v = 180$

$v^2 + 3v - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -15$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первоначальная скорость всадника равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.