Номер 24.30, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.30, страница 203.

Условие.

24.30. Постройте график уравнения $\frac{y^2 - x^4}{x^2 - 1} = 0$.

Решение.

Исходное уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю в том и только в том случае, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y^2 - x^4 = 0 \\ x^2 - 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$y^2 - x^4 = 0$

$y^2 = x^4$

$y = \pm \sqrt{x^4}$

$y = \pm x^2$

Таким образом, график уравнения состоит из объединения графиков двух функций: параболы $y = x^2$ (ветви направлены вверх) и параболы $y = -x^2$ (ветви направлены вниз).

Теперь рассмотрим второе условие системы, которое задает область определения уравнения:

$x^2 - 1 \neq 0$

$x^2 \neq 1$

Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Это означает, что из объединенного графика двух парабол необходимо исключить точки, абсциссы которых равны $1$ и $-1$. Найдем координаты этих точек:

• Если $x = 1$:
  • для параболы $y = x^2$ получаем $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
  • для параболы $y = -x^2$ получаем $y = -(1^2) = -1$. Точка $(1, -1)$.
• Если $x = -1$:
  • для параболы $y = x^2$ получаем $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
  • для параболы $y = -x^2$ получаем $y = -(-1)^2 = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Следовательно, искомый график — это две параболы ($y=x^2$ и $y=-x^2$) с выколотыми точками $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух парабол $y = x^2$ и $y = -x^2$ с выколотыми точками $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.