Номер 24.23, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.23, страница 202.
№24.23 (с. 202)
Условие. №24.23 (с. 202)
скриншот условия
 
                                24.23. Решите уравнение:
1) $(x+3)^4 + (x+1)^4 = 16;$
2) $x^4 + (x-1)^4 = 97.$
Решение. №24.23 (с. 202)
1) $(x + 3)^4 + (x + 1)^4 = 16$
Решение:
Данное уравнение является симметричным относительно точки $x=-2$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x + 2$. Тогда $x+3 = y+1$ и $x+1 = y-1$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$(y+1)^4 + (y-1)^4 = 16$
Воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$
$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
Сложим эти два выражения:
$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 16$
$2y^4 + 12y^2 + 2 = 16$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$2y^4 + 12y^2 - 14 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$y^4 + 6y^2 - 7 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.
$z^2 + 6z - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:
$z_1 = 1$ и $z_2 = -7$.
Корень $z_2 = -7$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Остается $z_1 = 1$. Вернемся к переменной $y$:
$y^2 = 1$
$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Мы использовали замену $y = x+2$, откуда $x = y-2$.
Для $y_1 = 1$: $x_1 = 1 - 2 = -1$.
Для $y_2 = -1$: $x_2 = -1 - 2 = -3$.
Проверим найденные корни:
При $x = -1$: $(-1+3)^4 + (-1+1)^4 = 2^4 + 0^4 = 16$. Верно.
При $x = -3$: $(-3+3)^4 + (-3+1)^4 = 0^4 + (-2)^4 = 16$. Верно.
Ответ: -3; -1.
2) $x^4 + (x-1)^4 = 97$
Решение:
Это уравнение также можно упростить с помощью замены. Пусть $y = x - \frac{1}{2}$. Тогда $x = y + \frac{1}{2}$ и $x-1 = y - \frac{1}{2}$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$(y + \frac{1}{2})^4 + (y - \frac{1}{2})^4 = 97$
Раскроем скобки, используя общую формулу $(a+b)^4+(a-b)^4=2a^4+12a^2b^2+2b^4$. В нашем случае $a=y$, $b=\frac{1}{2}$:
$2y^4 + 12y^2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})^4 = 97$
$2y^4 + 12y^2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{16}) = 97$
$2y^4 + 3y^2 + \frac{1}{8} = 97$
Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:
$16y^4 + 24y^2 + 1 = 776$
$16y^4 + 24y^2 - 775 = 0$
Сделаем замену $z = y^2$ ($z \ge 0$):
$16z^2 + 24z - 775 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(16)(-775) = 576 + 64 \cdot 775 = 576 + 49600 = 50176 = 224^2$
Найдем корни для $z$:
$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 224}{2 \cdot 16} = \frac{-24 \pm 224}{32}$
$z_1 = \frac{-24 + 224}{32} = \frac{200}{32} = \frac{25}{4}$
$z_2 = \frac{-24 - 224}{32} = \frac{-248}{32} = -\frac{31}{4}$
Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_2 = -\frac{31}{4}$ является посторонним.
Рассмотрим $z_1 = \frac{25}{4}$:
$y^2 = \frac{25}{4}$
$y_1 = \frac{5}{2}$, $y_2 = -\frac{5}{2}$.
Вернемся к переменной $x$, используя $x = y + \frac{1}{2}$.
Для $y_1 = \frac{5}{2}$: $x_1 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Для $y_2 = -\frac{5}{2}$: $x_2 = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$.
Проверим найденные корни:
При $x = 3$: $3^4 + (3-1)^4 = 81 + 2^4 = 81 + 16 = 97$. Верно.
При $x = -2$: $(-2)^4 + (-2-1)^4 = 16 + (-3)^4 = 16 + 81 = 97$. Верно.
Ответ: -2; 3.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.23 расположенного на странице 202 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.23 (с. 202), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    