Номер 24.23, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.23, страница 202.

Условие.

24.23. Решите уравнение:

1) $(x+3)^4 + (x+1)^4 = 16;$

2) $x^4 + (x-1)^4 = 97.$

Решение.

1) $(x + 3)^4 + (x + 1)^4 = 16$

Решение:

Данное уравнение является симметричным относительно точки $x=-2$. Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x + 2$. Тогда $x+3 = y+1$ и $x+1 = y-1$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$(y+1)^4 + (y-1)^4 = 16$

Воспользуемся формулой бинома Ньютона $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

$(y+1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

$(y-1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

Сложим эти два выражения:

$(y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1) + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) = 16$

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 16$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$2y^4 + 12y^2 - 14 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$y^4 + 6y^2 - 7 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: пусть $z = y^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 + 6z - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$z_1 = 1$ и $z_2 = -7$.

Корень $z_2 = -7$ не удовлетворяет условию $z \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.

Остается $z_1 = 1$. Вернемся к переменной $y$:

$y^2 = 1$

$y_1 = 1$, $y_2 = -1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Мы использовали замену $y = x+2$, откуда $x = y-2$.

Для $y_1 = 1$: $x_1 = 1 - 2 = -1$.

Для $y_2 = -1$: $x_2 = -1 - 2 = -3$.

Проверим найденные корни:

При $x = -1$: $(-1+3)^4 + (-1+1)^4 = 2^4 + 0^4 = 16$. Верно.

При $x = -3$: $(-3+3)^4 + (-3+1)^4 = 0^4 + (-2)^4 = 16$. Верно.

Ответ: -3; -1.

2) $x^4 + (x-1)^4 = 97$

Решение:

Это уравнение также можно упростить с помощью замены. Пусть $y = x - \frac{1}{2}$. Тогда $x = y + \frac{1}{2}$ и $x-1 = y - \frac{1}{2}$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$(y + \frac{1}{2})^4 + (y - \frac{1}{2})^4 = 97$

Раскроем скобки, используя общую формулу $(a+b)^4+(a-b)^4=2a^4+12a^2b^2+2b^4$. В нашем случае $a=y$, $b=\frac{1}{2}$:

$2y^4 + 12y^2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2})^4 = 97$

$2y^4 + 12y^2(\frac{1}{4}) + 2(\frac{1}{16}) = 97$

$2y^4 + 3y^2 + \frac{1}{8} = 97$

Умножим обе части уравнения на 8, чтобы избавиться от дробей:

$16y^4 + 24y^2 + 1 = 776$

$16y^4 + 24y^2 - 775 = 0$

Сделаем замену $z = y^2$ ($z \ge 0$):

$16z^2 + 24z - 775 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4(16)(-775) = 576 + 64 \cdot 775 = 576 + 49600 = 50176 = 224^2$

Найдем корни для $z$:

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-24 \pm 224}{2 \cdot 16} = \frac{-24 \pm 224}{32}$

$z_1 = \frac{-24 + 224}{32} = \frac{200}{32} = \frac{25}{4}$

$z_2 = \frac{-24 - 224}{32} = \frac{-248}{32} = -\frac{31}{4}$

Так как $z = y^2 \ge 0$, корень $z_2 = -\frac{31}{4}$ является посторонним.

Рассмотрим $z_1 = \frac{25}{4}$:

$y^2 = \frac{25}{4}$

$y_1 = \frac{5}{2}$, $y_2 = -\frac{5}{2}$.

Вернемся к переменной $x$, используя $x = y + \frac{1}{2}$.

Для $y_1 = \frac{5}{2}$: $x_1 = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Для $y_2 = -\frac{5}{2}$: $x_2 = -\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} = -2$.

Проверим найденные корни:

При $x = 3$: $3^4 + (3-1)^4 = 81 + 2^4 = 81 + 16 = 97$. Верно.

При $x = -2$: $(-2)^4 + (-2-1)^4 = 16 + (-3)^4 = 16 + 81 = 97$. Верно.

Ответ: -2; 3.