Номер 24.16, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.16, страница 202.

Условие.

24.16. Решите уравнение:

1) $x^4 + 8x^3 + 10x^2 - 24x + 5 = 0;$

2) $x^4 + 4x^3 - 10x^2 - 28x - 15 = 0;$

3) $10x^2(x - 2)^2 = 9(x^2 + (x - 2)^2).$

Решение.

1) $x^4 + 8x^3 + 10x^2 - 24x + 5 = 0$

Данное уравнение является уравнением четвертой степени. Попробуем сгруппировать слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что $x^4 + 8x^3$ являются первыми двумя слагаемыми в выражении $(x^2 + 4x)^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2$.

Перепишем исходное уравнение, выделив этот квадрат:

$(x^4 + 8x^3 + 16x^2) - 16x^2 + 10x^2 - 24x + 5 = 0$

$(x^2 + 4x)^2 - 6x^2 - 24x + 5 = 0$

Вынесем $-6$ за скобки в следующих двух слагаемых:

$(x^2 + 4x)^2 - 6(x^2 + 4x) + 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 4x$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

По теореме Виета находим корни этого уравнения:

$y_1 = 1, y_2 = 5$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 1$

$x^2 + 4x = 1$

$x^2 + 4x - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

Случай 2: $y = 5$

$x^2 + 4x = 5$

$x^2 + 4x - 5 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_3 = 1, x_4 = -5$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-5; -2 - \sqrt{5}; -2 + \sqrt{5}; 1$.

2) $x^4 + 4x^3 - 10x^2 - 28x - 15 = 0$

Как и в предыдущем примере, попробуем выделить полный квадрат. Заметим, что $x^4 + 4x^3$ являются первыми двумя слагаемыми в выражении $(x^2 + 2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2$.

Перепишем исходное уравнение:

$(x^4 + 4x^3 + 4x^2) - 4x^2 - 10x^2 - 28x - 15 = 0$

$(x^2 + 2x)^2 - 14x^2 - 28x - 15 = 0$

Вынесем $-14$ за скобки:

$(x^2 + 2x)^2 - 14(x^2 + 2x) - 15 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 2x$. Уравнение превращается в квадратное:

$y^2 - 14y - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$y_1 = 15, y_2 = -1$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 15$

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 = 3, x_2 = -5$

Случай 2: $y = -1$

$x^2 + 2x = -1$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(x+1)^2 = 0$

$x_3 = -1$ (корень кратности 2)

Следовательно, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: $-5; -1; 3$.

3) $10x^2(x - 2)^2 = 9(x^2 + (x - 2)^2)$

Преобразуем обе части уравнения. Левая часть:

$10x^2(x-2)^2 = 10(x(x-2))^2 = 10(x^2 - 2x)^2$

Правая часть:

$9(x^2 + (x-2)^2) = 9(x^2 + x^2 - 4x + 4) = 9(2x^2 - 4x + 4) = 18(x^2 - 2x + 2)$

Теперь уравнение имеет вид:

$10(x^2 - 2x)^2 = 18(x^2 - 2x + 2)$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 2x$. Тогда уравнение примет вид:

$10y^2 = 18(y + 2)$

Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$10y^2 = 18y + 36$

$10y^2 - 18y - 36 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$5y^2 - 9y - 18 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4(5)(-18) = 81 + 360 = 441 = 21^2$

$y = \frac{9 \pm \sqrt{441}}{2 \cdot 5} = \frac{9 \pm 21}{10}$

Находим два значения для $y$:

$y_1 = \frac{9 + 21}{10} = \frac{30}{10} = 3$

$y_2 = \frac{9 - 21}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2$

Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

Случай 1: $y = 3$

$x^2 - 2x = 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 = 3, x_2 = -1$

Случай 2: $y = -1.2$

$x^2 - 2x = -1.2$

$x^2 - 2x + 1.2 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = (-2)^2 - 4(1)(1.2) = 4 - 4.8 = -0.8$

Поскольку дискриминант $D_x < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни из первого случая.

Ответ: $-1; 3$.