Номер 24.13, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.13, страница 201.

Условие.

24.13. Решите уравнение:

1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0;$

2) $(x^2 - 5x)(x + 3)(x - 8) + 108 = 0.$

Решение.

1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения преобразуем его, выделив повторяющееся выражение. Вынесем $-3$ за скобки в членах $-3x^2 - 3x$:

$(x^2 + x + 1)^2 - 3(x^2 + x) - 1 = 0$

Теперь введем замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $t = x^2 + x + 1$. Из этого выражения следует, что $x^2 + x = t - 1$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 - 3(t - 1) - 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$t^2 - 3t + 3 - 1 = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Получилось квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t_1 = 1$

$x^2 + x + 1 = 1$

$x^2 + x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 1) = 0$

Это дает нам два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Случай 2: $t_2 = 2$

$x^2 + x + 1 = 2$

$x^2 + x - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Итак, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 0; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.

2) $(x^2 - 5x)(x + 3)(x - 8) + 108 = 0$

В данном уравнении можно заметить, что произведение двух скобок $(x + 3)$ и $(x - 8)$ приведет к выражению, содержащему $x^2 - 5x$.

Перемножим эти скобки:

$(x + 3)(x - 8) = x^2 - 8x + 3x - 24 = x^2 - 5x - 24$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$(x^2 - 5x)(x^2 - 5x - 24) + 108 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$.

Уравнение примет вид:

$y(y - 24) + 108 = 0$

Раскроем скобки:

$y^2 - 24y + 108 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 576 - 432 = 144 = 12^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{24 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$

$y_2 = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y_1 = 18$

$x^2 - 5x = 18$

$x^2 - 5x - 18 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 25 + 72 = 97$

Корни этого уравнения:

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{2}$

Случай 2: $y_2 = 6$

$x^2 - 5x = 6$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Это уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Следовательно, корни: $x_3 = 6$ и $x_4 = -1$.

Итак, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-1; 6; \frac{5 - \sqrt{97}}{2}; \frac{5 + \sqrt{97}}{2}$.