Номер 24.13, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.13, страница 201.
№24.13 (с. 201)
Условие. №24.13 (с. 201)
скриншот условия
 
                                24.13. Решите уравнение:
1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0;$
2) $(x^2 - 5x)(x + 3)(x - 8) + 108 = 0.$
Решение. №24.13 (с. 201)
1) $(x^2 + x + 1)^2 - 3x^2 - 3x - 1 = 0$
Для решения этого уравнения преобразуем его, выделив повторяющееся выражение. Вынесем $-3$ за скобки в членах $-3x^2 - 3x$:
$(x^2 + x + 1)^2 - 3(x^2 + x) - 1 = 0$
Теперь введем замену переменной для упрощения уравнения. Пусть $t = x^2 + x + 1$. Из этого выражения следует, что $x^2 + x = t - 1$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t^2 - 3(t - 1) - 1 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$t^2 - 3t + 3 - 1 = 0$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Получилось квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда легко находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$.
Случай 1: $t_1 = 1$
$x^2 + x + 1 = 1$
$x^2 + x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 1) = 0$
Это дает нам два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Случай 2: $t_2 = 2$
$x^2 + x + 1 = 2$
$x^2 + x - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение, используя формулу для нахождения корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$x_{3,4} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
Итак, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-1; 0; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
2) $(x^2 - 5x)(x + 3)(x - 8) + 108 = 0$
В данном уравнении можно заметить, что произведение двух скобок $(x + 3)$ и $(x - 8)$ приведет к выражению, содержащему $x^2 - 5x$.
Перемножим эти скобки:
$(x + 3)(x - 8) = x^2 - 8x + 3x - 24 = x^2 - 5x - 24$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$(x^2 - 5x)(x^2 - 5x - 24) + 108 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 5x$.
Уравнение примет вид:
$y(y - 24) + 108 = 0$
Раскроем скобки:
$y^2 - 24y + 108 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 576 - 432 = 144 = 12^2$
Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{24 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$y_2 = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.
Случай 1: $y_1 = 18$
$x^2 - 5x = 18$
$x^2 - 5x - 18 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 25 + 72 = 97$
Корни этого уравнения:
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{97}}{2}$
Случай 2: $y_2 = 6$
$x^2 - 5x = 6$
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это уравнение можно решить по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а их произведение равно -6. Следовательно, корни: $x_3 = 6$ и $x_4 = -1$.
Итак, исходное уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-1; 6; \frac{5 - \sqrt{97}}{2}; \frac{5 + \sqrt{97}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.13 расположенного на странице 201 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.13 (с. 201), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    