Номер 24.8, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.8, страница 201.

Условие.

24.8. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $(\frac{2x-1}{x})^2 - \frac{6(2x-1)}{x} + 5 = 0;$

2) $\frac{3x-1}{x+1} + \frac{x+1}{3x-1} = 3\frac{1}{3}.$

Решение.

1)

Дано уравнение: $(\frac{2x-1}{x})^2 - \frac{6(2x-1)}{x} + 5 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Заметим, что выражение $\frac{2x-1}{x}$ повторяется в уравнении. Введем замену переменной для упрощения уравнения.

Пусть $t = \frac{2x-1}{x}$.

Тогда исходное уравнение можно переписать через новую переменную $t$:

$t^2 - 6t + 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его, используя теорему Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 6$

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 5$

Подбором находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$, чтобы найти $x$.

Случай 1: $t = 1$.

$\frac{2x-1}{x} = 1$

Умножим обе части на $x$ (мы уже учли, что $x \neq 0$):

$2x - 1 = x$

$2x - x = 1$

$x = 1$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq 0$).

Случай 2: $t = 5$.

$\frac{2x-1}{x} = 5$

Умножим обе части на $x$:

$2x - 1 = 5x$

$-1 = 5x - 2x$

$-1 = 3x$

$x = -\frac{1}{3}$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{3} \neq 0$).

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $1; -\frac{1}{3}$.

2)

Дано уравнение: $\frac{3x-1}{x+1} + \frac{x+1}{3x-1} = 3\frac{1}{3}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$3x-1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}$

Заметим, что слагаемые в левой части уравнения являются взаимно обратными дробями. Это позволяет использовать метод замены переменной.

Пусть $t = \frac{3x-1}{x+1}$. Тогда второе слагаемое будет равно $\frac{1}{t}$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.

Подставим замену в уравнение:

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$

Для решения этого уравнения умножим обе части на $3t$ (при условии $t \neq 0$):

$3t \cdot t + 3t \cdot \frac{1}{t} = 3t \cdot \frac{10}{3}$

$3t^2 + 3 = 10t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$

Корни уравнения для $t$:

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t = \frac{1}{3}$.

$\frac{3x-1}{x+1} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3(3x-1) = 1(x+1)$

$9x - 3 = x + 1$

$8x = 4$

$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $\frac{1}{2} \neq -1$ и $\frac{1}{2} \neq \frac{1}{3}$. Корень подходит.

Случай 2: $t = 3$.

$\frac{3x-1}{x+1} = 3$

$3x - 1 = 3(x+1)$

$3x - 1 = 3x + 3$

$-1 = 3$

Получено неверное числовое равенство, что означает, что в этом случае уравнение не имеет решений.

Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $\frac{1}{2}$.