Номер 24.15, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.15, страница 202.

Условие.

24.15. Решите уравнение:

1) $(x - 4)(x + 2)(x + 8)(x + 14) = 1204;$

2) $(x + 3)(x + 1)(x + 5)(x + 7) = -16.$

Решение.

1) $(x - 4)(x + 2)(x + 8)(x + 14) = 1204$

Для решения данного уравнения сгруппируем множители в левой части таким образом, чтобы суммы свободных членов в парах были равны. Замечаем, что $-4 + 14 = 10$ и $2 + 8 = 10$.

Перепишем уравнение, сгруппировав множители:

$((x - 4)(x + 14)) \cdot ((x + 2)(x + 8)) = 1204$

Теперь раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 14x - 4x - 56)(x^2 + 8x + 2x + 16) = 1204$

$(x^2 + 10x - 56)(x^2 + 10x + 16) = 1204$

Видим, что оба множителя содержат выражение $x^2 + 10x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 10x$. Тогда уравнение примет вид:

$(t - 56)(t + 16) = 1204$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 16t - 56t - 896 = 1204$

$t^2 - 40t - 896 - 1204 = 0$

$t^2 - 40t - 2100 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2100) = 1600 + 8400 = 10000 = 100^2$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{40 + 100}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$t_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{10000}}{2 \cdot 1} = \frac{40 - 100}{2} = \frac{-60}{2} = -30$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 70$

$x^2 + 10x = 70$

$x^2 + 10x - 70 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-70) = 100 + 280 = 380$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{380}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 95}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{95}}{2} = -5 \pm \sqrt{95}$

Случай 2: $t = -30$

$x^2 + 10x = -30$

$x^2 + 10x + 30 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 100 - 120 = -20$

Так как дискриминант отрицательный ($D_x < 0$), в этом случае действительных корней нет.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-5 - \sqrt{95}; -5 + \sqrt{95}$.

---

2) $(x + 3)(x + 1)(x + 5)(x + 7) = -16$

Как и в предыдущем примере, сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов были одинаковыми. Замечаем, что $1 + 7 = 8$ и $3 + 5 = 8$.

Перепишем уравнение, сгруппировав множители:

$((x + 1)(x + 7)) \cdot ((x + 3)(x + 5)) = -16$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 7x + x + 7)(x^2 + 5x + 3x + 15) = -16$

$(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) = -16$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 8x$. Тогда уравнение примет вид:

$(y + 7)(y + 15) = -16$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 15y + 7y + 105 = -16$

$y^2 + 22y + 105 + 16 = 0$

$y^2 + 22y + 121 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(y + 11)^2 = 0$

Отсюда находим единственное значение $y$:

$y + 11 = 0 \Rightarrow y = -11$

Теперь выполним обратную замену:

$x^2 + 8x = -11$

$x^2 + 8x + 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 64 - 44 = 20$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -4 \pm \sqrt{5}$

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-4 - \sqrt{5}; -4 + \sqrt{5}$.