Номер 24.17, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.17, страница 202.

Условие.

24.17. Решите уравнение:

1) $(2x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 7x + 2) = -20x^2$;

2) $(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2$.

Решение.

1) $(2x^2 - 5x + 2)(2x^2 + 7x + 2) = -20x^2$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ левая часть равна $2 \cdot 2 = 4$, а правая равна $0$. Так как $x \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$.

$\frac{(2x^2 - 5x + 2)}{x} \cdot \frac{(2x^2 + 7x + 2)}{x} = -20$

$(2x - 5 + \frac{2}{x})(2x + 7 + \frac{2}{x}) = -20$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$((2x + \frac{2}{x}) - 5)((2x + \frac{2}{x}) + 7) = -20$

Введем замену переменной. Пусть $t = 2x + \frac{2}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$(t - 5)(t + 7) = -20$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 7t - 5t - 35 = -20$

$t^2 + 2t - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$t_1 + t_2 = -2$

$t_1 \cdot t_2 = -15$

Отсюда $t_1 = -5$ и $t_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t = -5$

$2x + \frac{2}{x} = -5$

Умножим обе части на $x$ (помним, что $x \ne 0$):

$2x^2 + 2 = -5x$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = \frac{-8}{4} = -2$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Случай 2: $t = 3$

$2x + \frac{2}{x} = 3$

$2x^2 + 2 = 3x$

$2x^2 - 3x + 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-2; -0,5$.

2) $(x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2$

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения. Разделим обе части на $x^2 \ne 0$.

Перегруппируем множители в левой части так, чтобы произведения свободных членов были равны: $2 \cdot 12 = 24$ и $3 \cdot 8 = 24$.

$((x + 2)(x + 12))((x + 3)(x + 8)) = 4x^2$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 14x + 24)(x^2 + 11x + 24) = 4x^2$

Разделим обе части на $x^2$, внеся $x$ в каждую скобку:

$\frac{(x^2 + 14x + 24)}{x} \cdot \frac{(x^2 + 11x + 24)}{x} = 4$

$(x + 14 + \frac{24}{x})(x + 11 + \frac{24}{x}) = 4$

Введем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{24}{x}$.

$(t + 14)(t + 11) = 4$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t$:

$t^2 + 11t + 14t + 154 = 4$

$t^2 + 25t + 150 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot 150 = 625 - 600 = 25$.

$t_1 = \frac{-25 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-25 - 5}{2} = -15$

$t_2 = \frac{-25 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-25 + 5}{2} = -10$

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t = -15$

$x + \frac{24}{x} = -15$

$x^2 + 24 = -15x$

$x^2 + 15x + 24 = 0$

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 225 - 96 = 129$.

$x_{1,2} = \frac{-15 \pm \sqrt{129}}{2}$

Случай 2: $t = -10$

$x + \frac{24}{x} = -10$

$x^2 + 24 = -10x$

$x^2 + 10x + 24 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_3 + x_4 = -10$

$x_3 \cdot x_4 = 24$

Отсюда $x_3 = -6$ и $x_4 = -4$.

Ответ: $-6; -4; \frac{-15 - \sqrt{129}}{2}; \frac{-15 + \sqrt{129}}{2}$.