Номер 24.22, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.22, страница 202.

Условие.

24.22. Решите уравнение:

1) $x^4 + 5x^2(x+1) = 6(x+1)^2$;

2) $(x^2 - 3x + 1)^2 + 3(x-1)(x^2 - 3x + 1) = 4(x-1)^2$.

Решение.

1) $x^4 + 5x^2(x + 1) = 6(x + 1)^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$x^4 + 5x^2(x + 1) - 6(x + 1)^2 = 0$

Заметим, что $x = -1$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $1 + 0 = 0$, что неверно. Следовательно, $x + 1 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(x + 1)^2$:

$\frac{x^4}{(x + 1)^2} + \frac{5x^2(x + 1)}{(x + 1)^2} - \frac{6(x + 1)^2}{(x + 1)^2} = 0$

$(\frac{x^2}{x + 1})^2 + 5(\frac{x^2}{x + 1}) - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{x + 1}$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 + 5y - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант.

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$y_1 = \frac{-5 - 7}{2} = -6$

$y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

Случай 1: $y = -6$

$\frac{x^2}{x + 1} = -6$

$x^2 = -6(x + 1)$

$x^2 = -6x - 6$

$x^2 + 6x + 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$

Случай 2: $y = 1$

$\frac{x^2}{x + 1} = 1$

$x^2 = x + 1$

$x^2 - x - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3 - \sqrt{3}; -3 + \sqrt{3}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

2) $(x^2 - 3x + 1)^2 + 3(x - 1)(x^2 - 3x + 1) = 4(x - 1)^2$

Это уравнение является однородным относительно выражений $(x^2 - 3x + 1)$ и $(x - 1)$.

Перенесем все члены в левую часть:

$(x^2 - 3x + 1)^2 + 3(x - 1)(x^2 - 3x + 1) - 4(x - 1)^2 = 0$

Проверим, является ли $x - 1 = 0$ (т.е. $x = 1$) корнем уравнения. Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$(1^2 - 3 \cdot 1 + 1)^2 + 3(1 - 1)(1^2 - 3 \cdot 1 + 1) = 4(1 - 1)^2$

$(-1)^2 + 0 = 0$

$1 = 0$, что неверно. Значит, $x = 1$ не является корнем, и $x - 1 \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $(x - 1)^2$:

$\frac{(x^2 - 3x + 1)^2}{(x - 1)^2} + \frac{3(x - 1)(x^2 - 3x + 1)}{(x - 1)^2} - \frac{4(x - 1)^2}{(x - 1)^2} = 0$

$(\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1})^2 + 3(\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}) - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}$. Уравнение примет вид:

$t^2 + 3t - 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения по теореме Виета:

$t_1 = 1$, $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = 1$

$\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1} = 1$

$x^2 - 3x + 1 = x - 1$

$x^2 - 4x + 2 = 0$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

Случай 2: $t = -4$

$\frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1} = -4$

$x^2 - 3x + 1 = -4(x - 1)$

$x^2 - 3x + 1 = -4x + 4$

$x^2 + x - 3 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $2 - \sqrt{2}; 2 + \sqrt{2}; \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.