Номер 24.20, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.20, страница 202.

Условие.

24.20. Решите уравнение:

1) $3x^2 + 5x + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} = 16;$

2) $x^2 + \frac{36}{x^2} = \frac{112}{5} \left(\frac{x}{2} - \frac{3}{x}\right);$

3) $\frac{(x^2 + 1)^2}{x(x + 1)^2} = \frac{625}{112};$

4) $4x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 8x + 4 = 0.$

Решение.

1) $3x^2 + 5x + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^2} = 16$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами:

$(3x^2 + \frac{3}{x^2}) + (5x + \frac{5}{x}) - 16 = 0$

$3(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 5(x + \frac{1}{x}) - 16 = 0$

Это симметричное (возвратное) уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Тогда, возведя обе части в квадрат, получим $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения с $y$ в исходное уравнение:

$3(y^2 - 2) + 5y - 16 = 0$

$3y^2 - 6 + 5y - 16 = 0$

$3y^2 + 5y - 22 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}$

$y_2 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y_1 = -\frac{11}{3}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{3}$

Умножим обе части на $3x$ (помним, что $x \neq 0$):

$3x^2 + 3 = -11x$

$3x^2 + 11x + 3 = 0$

$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 121 - 36 = 85$.

$x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{85}}{6}$.

Случай 2: $y_2 = 2$

$x + \frac{1}{x} = 2$

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x_3 = 1$.

Ответ: $1; \frac{-11 \pm \sqrt{85}}{6}$.

2) $x^2 + \frac{36}{x^2} = \frac{112}{5} \left( \frac{x}{2} - \frac{3}{x} \right)$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Упростим выражение в скобках в правой части:

$\frac{112}{5} \left( \frac{x}{2} - \frac{3}{x} \right) = \frac{112}{5} \cdot \frac{1}{2} \left( x - \frac{6}{x} \right) = \frac{56}{5} \left( x - \frac{6}{x} \right)$.

Уравнение принимает вид:

$x^2 + \frac{36}{x^2} = \frac{56}{5} \left( x - \frac{6}{x} \right)$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x - \frac{6}{x}$.

Возведем в квадрат: $y^2 = (x - \frac{6}{x})^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{6}{x} + \frac{36}{x^2} = x^2 - 12 + \frac{36}{x^2}$.

Отсюда $x^2 + \frac{36}{x^2} = y^2 + 12$.

Подставим в уравнение:

$y^2 + 12 = \frac{56}{5} y$

Умножим на 5, чтобы избавиться от дроби:

$5y^2 + 60 = 56y$

$5y^2 - 56y + 60 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$.

$D = (-56)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 60 = 3136 - 1200 = 1936 = 44^2$.

$y_1 = \frac{56 - 44}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$y_2 = \frac{56 + 44}{2 \cdot 5} = \frac{100}{10} = 10$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = \frac{6}{5}$

$x - \frac{6}{x} = \frac{6}{5}$

$5x^2 - 30 = 6x \implies 5x^2 - 6x - 30 = 0$

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-30) = 36 + 600 = 636$.

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{636}}{10} = \frac{6 \pm 2\sqrt{159}}{10} = \frac{3 \pm \sqrt{159}}{5}$.

Случай 2: $y_2 = 10$

$x - \frac{6}{x} = 10$

$x^2 - 6 = 10x \implies x^2 - 10x - 6 = 0$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 100 + 24 = 124$.

$x_{3,4} = \frac{10 \pm \sqrt{124}}{2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{31}}{2} = 5 \pm \sqrt{31}$.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{159}}{5}; 5 \pm \sqrt{31}$.

3) $\frac{(x^2 + 1)^2}{x(x + 1)^2} = \frac{625}{112}$

ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1$.

Преобразуем левую часть уравнения. Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^2$.

Числитель: $\frac{(x^2+1)^2}{x^2} = \left(\frac{x^2+1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2$.

Знаменатель: $\frac{x(x+1)^2}{x^2} = \frac{(x+1)^2}{x} = \frac{x^2+2x+1}{x} = x + 2 + \frac{1}{x}$.

Уравнение примет вид: $\frac{(x + \frac{1}{x})^2}{(x + \frac{1}{x}) + 2} = \frac{625}{112}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

$\frac{y^2}{y+2} = \frac{625}{112}$

По свойству пропорции:

$112y^2 = 625(y+2)$

$112y^2 = 625y + 1250$

$112y^2 - 625y - 1250 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$.

$D = (-625)^2 - 4 \cdot 112 \cdot (-1250) = 390625 + 560000 = 950625 = 975^2$.

$y_1 = \frac{625 - 975}{2 \cdot 112} = \frac{-350}{224} = -\frac{25}{16}$

$y_2 = \frac{625 + 975}{2 \cdot 112} = \frac{1600}{224} = \frac{50}{7}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = -\frac{25}{16}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{25}{16}$

$16x^2 + 16 = -25x \implies 16x^2 + 25x + 16 = 0$

$D = 25^2 - 4 \cdot 16 \cdot 16 = 625 - 1024 = -399 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y_2 = \frac{50}{7}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{50}{7}$

$7x^2 + 7 = 50x \implies 7x^2 - 50x + 7 = 0$

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.

$x_1 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

$x_2 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$.

Ответ: $\frac{1}{7}; 7$.

4) $4x^4 - 8x^3 + 3x^2 - 8x + 4 = 0$

Это симметричное уравнение четвертой степени. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $4 \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$.

$4x^2 - 8x + 3 - \frac{8}{x} + \frac{4}{x^2} = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4x^2 + \frac{4}{x^2}) - (8x + \frac{8}{x}) + 3 = 0$

$4(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 8(x + \frac{1}{x}) + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в уравнение:

$4(y^2 - 2) - 8y + 3 = 0$

$4y^2 - 8 - 8y + 3 = 0$

$4y^2 - 8y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$.

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.

$y_1 = \frac{8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = -\frac{1}{2}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$

$2x^2 + 2 = -x \implies 2x^2 + x + 2 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y_2 = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

$2x^2 + 2 = 5x \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $\frac{1}{2}; 2$.