Номер 24.19, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.19, страница 202.

Условие.

24.19. Решите уравнение:

1) $4x^2 + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 47;$

2) $2\left(\frac{2}{x} - \frac{x}{3}\right) = \frac{2}{x^2} + \frac{x^2}{18} + \frac{4}{3};$

3) $12x^2 + \frac{1}{3x^2} + 10\left(2x + \frac{1}{3x}\right) + 11 = 0;$

4) $\frac{x(x-1)^2}{(x^2-x+1)^2} = \frac{2}{9};$

5) $x^4 - 2x^3 - 18x^2 - 6x + 9 = 0.$

Решение.

1) $4x^2 + 12x + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 47$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(4x^2 + \frac{4}{x^2}) + (12x + \frac{12}{x}) - 47 = 0$

Вынесем общие множители за скобки:

$4(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 12(x + \frac{1}{x}) - 47 = 0$

Введем замену. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда выразим $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим замену в уравнение:

$4(y^2 - 2) + 12y - 47 = 0$

$4y^2 - 8 + 12y - 47 = 0$

$4y^2 + 12y - 55 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-55) = 144 + 880 = 1024 = 32^2$.

$y_1 = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 4} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

$y_2 = \frac{-12 - 32}{2 \cdot 4} = \frac{-44}{8} = -\frac{11}{2}$

Вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2x$ (так как $x \ne 0$):

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Случай 2: $y = -\frac{11}{2}$

$x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{2}$

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 2 = -11x$

$2x^2 + 11x + 2 = 0$

$D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 121 - 16 = 105$.

$x_3 = \frac{-11 + \sqrt{105}}{4}$

$x_4 = \frac{-11 - \sqrt{105}}{4}$

Ответ: $2; \frac{1}{2}; \frac{-11 + \sqrt{105}}{4}; \frac{-11 - \sqrt{105}}{4}$.

2) $2(\frac{2}{x} - \frac{x}{3}) = \frac{2}{x^2} + \frac{x^2}{18} + \frac{4}{3}$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Введем замену. Пусть $t = \frac{2}{x} - \frac{x}{3}$.

Возведем обе части замены в квадрат:

$t^2 = (\frac{2}{x} - \frac{x}{3})^2 = (\frac{2}{x})^2 - 2 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{x}{3} + (\frac{x}{3})^2 = \frac{4}{x^2} - \frac{4}{3} + \frac{x^2}{9}$.

Выразим из этого равенства сумму квадратов: $\frac{4}{x^2} + \frac{x^2}{9} = t^2 + \frac{4}{3}$.

Преобразуем правую часть исходного уравнения:

$\frac{2}{x^2} + \frac{x^2}{18} + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(\frac{4}{x^2} + \frac{x^2}{9}) + \frac{4}{3}$.

Подставим сюда выражение для суммы квадратов:

$\frac{1}{2}(t^2 + \frac{4}{3}) + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}t^2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}t^2 + \frac{6}{3} = \frac{1}{2}t^2 + 2$.

Исходное уравнение примет вид:

$2t = \frac{1}{2}t^2 + 2$

Умножим обе части на 2:

$4t = t^2 + 4$

$t^2 - 4t + 4 = 0$

$(t-2)^2 = 0$

$t = 2$

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{2}{x} - \frac{x}{3} = 2$

Умножим обе части на $3x$ (так как $x \ne 0$):

$6 - x^2 = 6x$

$x^2 + 6x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.

$\sqrt{D} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$.

$x_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{15}}{2} = -3 + \sqrt{15}$

$x_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{15}}{2} = -3 - \sqrt{15}$

Ответ: $-3 + \sqrt{15}; -3 - \sqrt{15}$.

3) $12x^2 + \frac{1}{3x^2} + 10(2x + \frac{1}{3x}) + 11 = 0$

ОДЗ: $x \ne 0$.

Введем замену. Пусть $y = 2x + \frac{1}{3x}$.

Возведем обе части замены в квадрат:

$y^2 = (2x + \frac{1}{3x})^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{3x} + (\frac{1}{3x})^2 = 4x^2 + \frac{4}{3} + \frac{1}{9x^2}$.

Выразим отсюда $4x^2 + \frac{1}{9x^2} = y^2 - \frac{4}{3}$.

Преобразуем первое слагаемое в исходном уравнении:

$12x^2 + \frac{1}{3x^2} = 3(4x^2 + \frac{1}{9x^2})$.

Подставим выражение, полученное ранее:

$3(y^2 - \frac{4}{3}) = 3y^2 - 4$.

Теперь подставим все в исходное уравнение:

$(3y^2 - 4) + 10y + 11 = 0$

$3y^2 + 10y + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$.

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16 = 4^2$.

$y_1 = \frac{-10 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

$y_2 = \frac{-10 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

Вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $y = -1$

$2x + \frac{1}{3x} = -1$

Умножим на $3x$:

$6x^2 + 1 = -3x$

$6x^2 + 3x + 1 = 0$

$D = 3^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 9 - 24 = -15 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = -\frac{7}{3}$

$2x + \frac{1}{3x} = -\frac{7}{3}$

Умножим на $3x$:

$6x^2 + 1 = -7x$

$6x^2 + 7x + 1 = 0$

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

$x_2 = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1$

Ответ: $-1; -\frac{1}{6}$.

4) $\frac{x(x - 1)^2}{(x^2 - x + 1)^2} = \frac{2}{9}$

Знаменатель $x^2 - x + 1$ не равен нулю ни при каких действительных $x$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Правая часть уравнения положительна, следовательно, левая часть также должна быть положительной. $(x-1)^2 \ge 0$ и $(x^2 - x + 1)^2 > 0$, значит, $x > 0$. При $x=0$ и $x=1$ левая часть равна 0, что не является решением. Таким образом, $x>0$ и $x \ne 1$.

Разделим числитель и знаменатель левой части на $x^2$ (мы установили, что $x \ne 0$):

$\frac{\frac{x(x - 1)^2}{x^2}}{\frac{(x^2 - x + 1)^2}{x^2}} = \frac{\frac{(x - 1)^2}{x}}{(\frac{x^2 - x + 1}{x})^2} = \frac{\frac{x^2 - 2x + 1}{x}}{(x - 1 + \frac{1}{x})^2} = \frac{x - 2 + \frac{1}{x}}{(x + \frac{1}{x} - 1)^2} = \frac{2}{9}$

Введем замену. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда уравнение примет вид:

$\frac{y - 2}{(y - 1)^2} = \frac{2}{9}$

Решим это уравнение относительно $y$:

$9(y - 2) = 2(y - 1)^2$

$9y - 18 = 2(y^2 - 2y + 1)$

$9y - 18 = 2y^2 - 4y + 2$

$2y^2 - 13y + 20 = 0$

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 20 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.

$y_1 = \frac{13 + 3}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$y_2 = \frac{13 - 3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $y = 4$

$x + \frac{1}{x} = 4$

$x^2 + 1 = 4x$

$x^2 - 4x + 1 = 0$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$. $\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

$x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

$x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Случай 2: $y = \frac{5}{2}$

$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$

$2x^2 + 2 = 5x$

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

$x_3 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_4 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Все четыре корня положительные и не равны 1.

Ответ: $2; \frac{1}{2}; 2 + \sqrt{3}; 2 - \sqrt{3}$.

5) $x^4 - 2x^3 - 18x^2 - 6x + 9 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (9): $\pm1, \pm3, \pm9$.

Проверим $x = -1$: $(-1)^4 - 2(-1)^3 - 18(-1)^2 - 6(-1) + 9 = 1 - 2(-1) - 18(1) + 6 + 9 = 1 + 2 - 18 + 6 + 9 = 0$.

Значит, $x = -1$ является корнем, а многочлен делится на $(x+1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $x^4 - 2x^3 - 18x^2 - 6x + 9$ на $(x+1)$:

$(x^4 - 2x^3 - 18x^2 - 6x + 9) : (x+1) = x^3 - 3x^2 - 15x + 9$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(x+1)(x^3 - 3x^2 - 15x + 9) = 0$

Решим кубическое уравнение $x^3 - 3x^2 - 15x + 9 = 0$. Снова ищем целые корни среди делителей свободного члена (9): $\pm1, \pm3, \pm9$.

Проверим $x = -3$: $(-3)^3 - 3(-3)^2 - 15(-3) + 9 = -27 - 3(9) + 45 + 9 = -27 - 27 + 45 + 9 = -54 + 54 = 0$.

Значит, $x = -3$ является корнем, а многочлен $x^3 - 3x^2 - 15x + 9$ делится на $(x+3)$ без остатка.

Выполним деление:

$(x^3 - 3x^2 - 15x + 9) : (x+3) = x^2 - 6x + 3$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$(x+1)(x+3)(x^2 - 6x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x+1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x+3 = 0 \implies x_2 = -3$

$x^2 - 6x + 3 = 0$. Решим это квадратное уравнение.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 36 - 12 = 24$.

$\sqrt{D} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$.

$x_3 = \frac{6 + 2\sqrt{6}}{2} = 3 + \sqrt{6}$

$x_4 = \frac{6 - 2\sqrt{6}}{2} = 3 - \sqrt{6}$

Ответ: $-1; -3; 3 + \sqrt{6}; 3 - \sqrt{6}$.