Номер 24.21, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.21, страница 202.
№24.21 (с. 202)
Условие. №24.21 (с. 202)
скриншот условия
 
                                24.21. Решите уравнение:
1) $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1);$
2) $20\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^2 - 5\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^2 + 48\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0.$
Решение. №24.21 (с. 202)
1) $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1)$
Разложим правую часть уравнения по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
Подставим это в исходное уравнение:
$2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1)$
Это однородное уравнение. Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^2 + x + 1$ и $b = x - 1$. Тогда уравнение примет вид:
$2a^2 - 7b^2 = 13ab$
Перенесем все члены в левую часть:
$2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$
Заметим, что $b = x - 1 = 0$ (т.е. $x=1$) не является решением, так как при $x=1$ левая часть равна $2(1^2+1+1)^2 - 7(1-1)^2 = 2(3)^2 = 18$, а правая часть равна $13(1^3-1)=0$. Поскольку $18 \neq 0$, то $b \neq 0$.
Разделим обе части уравнения на $b^2$:
$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 13\left(\frac{a}{b}\right) - 7 = 0$
Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$.
$2t^2 - 13t - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$
$t_2 = \frac{13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $\frac{a}{b} = 7$
$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = 7$
$x^2 + x + 1 = 7(x - 1)$
$x^2 + x + 1 = 7x - 7$
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Случай 2: $\frac{a}{b} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = -\frac{1}{2}$
$2(x^2 + x + 1) = -(x - 1)$
$2x^2 + 2x + 2 = -x + 1$
$2x^2 + 3x + 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Корни уравнения:
$x_3 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$x_4 = \frac{-3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
Ответ: $-1; -0,5; 2; 4$.
2) $20\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 - 5\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 + 48\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
Разложим на множители третий член уравнения:
$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)} = \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)$
Сделаем замену переменных. Пусть $u = \frac{x - 2}{x + 1}$ и $v = \frac{x + 2}{x - 1}$.
Уравнение примет вид:
$20u^2 - 5v^2 + 48uv = 0$
Перепишем в стандартном для однородного уравнения виде:
$20u^2 + 48uv - 5v^2 = 0$
Заметим, что $v = \frac{x+2}{x-1} = 0$ (т.е. $x=-2$) не является решением, так как при $x=-2$ левая часть равна $20\left(\frac{-2-2}{-2+1}\right)^2 = 20(4)^2 = 320 \neq 0$. Поэтому можно разделить уравнение на $v^2$:
$20\left(\frac{u}{v}\right)^2 + 48\left(\frac{u}{v}\right) - 5 = 0$
Сделаем еще одну замену: $t = \frac{u}{v}$.
$20t^2 + 48t - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
$D = 48^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-5) = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-48 + 52}{2 \cdot 20} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$
$t_2 = \frac{-48 - 52}{2 \cdot 20} = \frac{-100}{40} = -\frac{5}{2}$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
$\frac{u}{v} = \frac{\frac{x-2}{x+1}}{\frac{x+2}{x-1}} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}$
Случай 1: $t = \frac{1}{10}$
$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} = \frac{1}{10}$
$10(x^2 - 3x + 2) = 1(x^2 + 3x + 2)$
$10x^2 - 30x + 20 = x^2 + 3x + 2$
$9x^2 - 33x + 18 = 0$
Разделим на 3:
$3x^2 - 11x + 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Случай 2: $t = -\frac{5}{2}$
$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} = -\frac{5}{2}$
$2(x^2 - 3x + 2) = -5(x^2 + 3x + 2)$
$2x^2 - 6x + 4 = -5x^2 - 15x - 10$
$7x^2 + 9x + 14 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 14 = 81 - 392 = -311$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $\frac{2}{3}; 3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.21 расположенного на странице 202 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.21 (с. 202), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    