Номер 24.21, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.21, страница 202.

Условие.

24.21. Решите уравнение:

1) $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1);$

2) $20\left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^2 - 5\left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)^2 + 48\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0.$

Решение.

1) $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1)$

Разложим правую часть уравнения по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Подставим это в исходное уравнение:

$2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Это однородное уравнение. Сделаем замену переменных. Пусть $a = x^2 + x + 1$ и $b = x - 1$. Тогда уравнение примет вид:

$2a^2 - 7b^2 = 13ab$

Перенесем все члены в левую часть:

$2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$

Заметим, что $b = x - 1 = 0$ (т.е. $x=1$) не является решением, так как при $x=1$ левая часть равна $2(1^2+1+1)^2 - 7(1-1)^2 = 2(3)^2 = 18$, а правая часть равна $13(1^3-1)=0$. Поскольку $18 \neq 0$, то $b \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $b^2$:

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 13\left(\frac{a}{b}\right) - 7 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$.

$2t^2 - 13t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{28}{4} = 7$

$t_2 = \frac{13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $\frac{a}{b} = 7$

$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = 7$

$x^2 + x + 1 = 7(x - 1)$

$x^2 + x + 1 = 7x - 7$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Случай 2: $\frac{a}{b} = -\frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = -\frac{1}{2}$

$2(x^2 + x + 1) = -(x - 1)$

$2x^2 + 2x + 2 = -x + 1$

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения:

$x_3 = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_4 = \frac{-3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Ответ: $-1; -0,5; 2; 4$.

2) $20\left(\frac{x-2}{x+1}\right)^2 - 5\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^2 + 48\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Разложим на множители третий член уравнения:

$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)} = \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right) \cdot \left(\frac{x + 2}{x - 1}\right)$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = \frac{x - 2}{x + 1}$ и $v = \frac{x + 2}{x - 1}$.

Уравнение примет вид:

$20u^2 - 5v^2 + 48uv = 0$

Перепишем в стандартном для однородного уравнения виде:

$20u^2 + 48uv - 5v^2 = 0$

Заметим, что $v = \frac{x+2}{x-1} = 0$ (т.е. $x=-2$) не является решением, так как при $x=-2$ левая часть равна $20\left(\frac{-2-2}{-2+1}\right)^2 = 20(4)^2 = 320 \neq 0$. Поэтому можно разделить уравнение на $v^2$:

$20\left(\frac{u}{v}\right)^2 + 48\left(\frac{u}{v}\right) - 5 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{u}{v}$.

$20t^2 + 48t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = 48^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-5) = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-48 + 52}{2 \cdot 20} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$

$t_2 = \frac{-48 - 52}{2 \cdot 20} = \frac{-100}{40} = -\frac{5}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

$\frac{u}{v} = \frac{\frac{x-2}{x+1}}{\frac{x+2}{x-1}} = \frac{(x-2)(x-1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2}$

Случай 1: $t = \frac{1}{10}$

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} = \frac{1}{10}$

$10(x^2 - 3x + 2) = 1(x^2 + 3x + 2)$

$10x^2 - 30x + 20 = x^2 + 3x + 2$

$9x^2 - 33x + 18 = 0$

Разделим на 3:

$3x^2 - 11x + 6 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{11 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{11 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t = -\frac{5}{2}$

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 3x + 2} = -\frac{5}{2}$

$2(x^2 - 3x + 2) = -5(x^2 + 3x + 2)$

$2x^2 - 6x + 4 = -5x^2 - 15x - 10$

$7x^2 + 9x + 14 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 14 = 81 - 392 = -311$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{2}{3}; 3$.