Номер 24.18, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.18, страница 202.

Условие.

24.18. Решите уравнение:

1) $4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) - 3x^2 = 0;$

2) $(x - 4)(x + 5)(x + 10)(x - 2) = 18x^2.$

Решение.

1) $4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) - 3x^2 = 0$

Это уравнение является уравнением четвертой степени. Для его решения сгруппируем множители таким образом, чтобы произведения свободных членов в парах скобок были равны.
$(x+5)(x+12)$ и $(x+6)(x+10)$.
$5 \cdot 12 = 60$ и $6 \cdot 10 = 60$.
Перемножим сгруппированные скобки:
$(x+5)(x+12) = x^2 + 12x + 5x + 60 = x^2 + 17x + 60$
$(x+6)(x+10) = x^2 + 10x + 6x + 60 = x^2 + 16x + 60$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$4(x^2 + 17x + 60)(x^2 + 16x + 60) - 3x^2 = 0$
Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ получаем $4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 12 - 0 = 14400 \neq 0$.
Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$. Разделим каждый из множителей в скобках на $x$:
$4 \left(\frac{x^2 + 17x + 60}{x}\right) \left(\frac{x^2 + 16x + 60}{x}\right) - 3 = 0$
$4 \left(x + 17 + \frac{60}{x}\right) \left(x + 16 + \frac{60}{x}\right) - 3 = 0$
Введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{60}{x}$. Тогда уравнение примет вид:
$4(y + 17)(y + 16) - 3 = 0$
$4(y^2 + 16y + 17y + 272) - 3 = 0$
$4(y^2 + 33y + 272) - 3 = 0$
$4y^2 + 132y + 1088 - 3 = 0$
$4y^2 + 132y + 1085 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 132^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1085 = 17424 - 17360 = 64 = 8^2$.
$y_1 = \frac{-132 - 8}{2 \cdot 4} = \frac{-140}{8} = -\frac{35}{2}$
$y_2 = \frac{-132 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{-124}{8} = -\frac{31}{2}$
Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $y = -\frac{35}{2}$
$x + \frac{60}{x} = -\frac{35}{2}$
Умножим обе части на $2x$ (т.к. $x \neq 0$):
$2x^2 + 120 = -35x$
$2x^2 + 35x + 120 = 0$
$D_1 = 35^2 - 4 \cdot 2 \cdot 120 = 1225 - 960 = 265$
$x_{1,2} = \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{4}$
Случай 2: $y = -\frac{31}{2}$
$x + \frac{60}{x} = -\frac{31}{2}$
Умножим обе части на $2x$:
$2x^2 + 120 = -31x$
$2x^2 + 31x + 120 = 0$
$D_2 = 31^2 - 4 \cdot 2 \cdot 120 = 961 - 960 = 1$
$x_3 = \frac{-31 - \sqrt{1}}{4} = \frac{-32}{4} = -8$
$x_4 = \frac{-31 + \sqrt{1}}{4} = \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2}$

Ответ: $-8; -\frac{15}{2}; \frac{-35 \pm \sqrt{265}}{4}$.

2) $(x - 4)(x + 5)(x + 10)(x - 2) = 18x^2$

Сгруппируем множители так, чтобы произведения свободных членов были равны.
$(x-4)(x+5)$ и $(x+10)(x-2)$.
$(-4) \cdot 5 = -20$ и $10 \cdot (-2) = -20$.
Перемножим сгруппированные скобки:
$(x-4)(x+5) = x^2 + 5x - 4x - 20 = x^2 + x - 20$
$(x+10)(x-2) = x^2 - 2x + 10x - 20 = x^2 + 8x - 20$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$(x^2 + x - 20)(x^2 + 8x - 20) = 18x^2$
Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке $x=0$ получаем $(-4)(5)(10)(-2) = 400$, а $18 \cdot 0^2 = 0$. Так как $400 \neq 0$, $x=0$ не корень.
Разделим обе части уравнения на $x^2$, внеся $1/x$ в каждую из скобок:
$\left(\frac{x^2 + x - 20}{x}\right) \left(\frac{x^2 + 8x - 20}{x}\right) = 18$
$\left(x + 1 - \frac{20}{x}\right) \left(x + 8 - \frac{20}{x}\right) = 18$
Введем новую переменную. Пусть $y = x - \frac{20}{x}$. Уравнение примет вид:
$(y + 1)(y + 8) = 18$
$y^2 + 9y + 8 = 18$
$y^2 + 9y - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:
$y_1 = 1$, $y_2 = -10$.
Выполним обратную замену.
Случай 1: $y = 1$
$x - \frac{20}{x} = 1$
$x^2 - 20 = x$
$x^2 - x - 20 = 0$
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$, $x_2 = -4$.
Случай 2: $y = -10$
$x - \frac{20}{x} = -10$
$x^2 - 20 = -10x$
$x^2 + 10x - 20 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 100 + 80 = 180$.
$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$.
$x_{3,4} = \frac{-10 \pm 6\sqrt{5}}{2} = -5 \pm 3\sqrt{5}$.

Ответ: $-4; 5; -5 \pm 3\sqrt{5}$.