Номер 24.12, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.12, страница 201.

Условие.

24.12. Решите уравнение:

1) $(8x^2 - 3x + 1)^2 = 32x^2 - 12x + 1$;

2) $(x^2 - 5x + 7)(x - 2)(x - 3) = 2$.

Решение.

1) $(8x^2 - 3x + 1)^2 = 32x^2 - 12x + 1$

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся за скобки множитель 4:

$32x^2 - 12x + 1 = 4(8x^2 - 3x) + 1$.

Заметим, что выражение в скобках $8x^2 - 3x$ является частью выражения, стоящего в левой части уравнения в квадрате. Это позволяет нам сделать замену переменной.

Пусть $t = 8x^2 - 3x + 1$.

Тогда левая часть уравнения равна $t^2$. Выразим правую часть через $t$. Из замены следует, что $8x^2 - 3x = t - 1$. Подставим это в правую часть исходного уравнения:

$4(t - 1) + 1 = 4t - 4 + 1 = 4t - 3$.

Таким образом, исходное уравнение принимает вид:

$t^2 = 4t - 3$.

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - 4t + 3 = 0$.

По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = 1$.

$8x^2 - 3x + 1 = 1$

$8x^2 - 3x = 0$

$x(8x - 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{8}$.

Случай 2: $t = 3$.

$8x^2 - 3x + 1 = 3$

$8x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-2) = 9 + 64 = 73$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{16}$.

Ответ: $0; \frac{3}{8}; \frac{3 \pm \sqrt{73}}{16}$.

2) $(x^2 - 5x + 7)(x - 2)(x - 3) = 2$

Сначала раскроем скобки в произведении $(x - 2)(x - 3)$:

$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$(x^2 - 5x + 7)(x^2 - 5x + 6) = 2$.

В обоих множителях присутствует одинаковое выражение $x^2 - 5x$. Сделаем замену переменной для упрощения уравнения.

Пусть $t = x^2 - 5x + 6$.

Тогда первый множитель будет равен $x^2 - 5x + 7 = (x^2 - 5x + 6) + 1 = t + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(t + 1)t = 2$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 + t = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$.

По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t = 1$.

$x^2 - 5x + 6 = 1$

$x^2 - 5x + 5 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Случай 2: $t = -2$.

$x^2 - 5x + 6 = -2$

$x^2 - 5x + 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.

Так как $D < 0$, то в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.