Номер 24.12, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.12, страница 201.
№24.12 (с. 201)
Условие. №24.12 (с. 201)
скриншот условия
 
                                24.12. Решите уравнение:
1) $(8x^2 - 3x + 1)^2 = 32x^2 - 12x + 1$;
2) $(x^2 - 5x + 7)(x - 2)(x - 3) = 2$.
Решение. №24.12 (с. 201)
1) $(8x^2 - 3x + 1)^2 = 32x^2 - 12x + 1$
Преобразуем правую часть уравнения, вынеся за скобки множитель 4:
$32x^2 - 12x + 1 = 4(8x^2 - 3x) + 1$.
Заметим, что выражение в скобках $8x^2 - 3x$ является частью выражения, стоящего в левой части уравнения в квадрате. Это позволяет нам сделать замену переменной.
Пусть $t = 8x^2 - 3x + 1$.
Тогда левая часть уравнения равна $t^2$. Выразим правую часть через $t$. Из замены следует, что $8x^2 - 3x = t - 1$. Подставим это в правую часть исходного уравнения:
$4(t - 1) + 1 = 4t - 4 + 1 = 4t - 3$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$t^2 = 4t - 3$.
Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:
$t^2 - 4t + 3 = 0$.
По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
Случай 1: $t = 1$.
$8x^2 - 3x + 1 = 1$
$8x^2 - 3x = 0$
$x(8x - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{8}$.
Случай 2: $t = 3$.
$8x^2 - 3x + 1 = 3$
$8x^2 - 3x - 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-2) = 9 + 64 = 73$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{16}$.
Ответ: $0; \frac{3}{8}; \frac{3 \pm \sqrt{73}}{16}$.
2) $(x^2 - 5x + 7)(x - 2)(x - 3) = 2$
Сначала раскроем скобки в произведении $(x - 2)(x - 3)$:
$(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$.
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$(x^2 - 5x + 7)(x^2 - 5x + 6) = 2$.
В обоих множителях присутствует одинаковое выражение $x^2 - 5x$. Сделаем замену переменной для упрощения уравнения.
Пусть $t = x^2 - 5x + 6$.
Тогда первый множитель будет равен $x^2 - 5x + 7 = (x^2 - 5x + 6) + 1 = t + 1$.
Уравнение принимает вид:
$(t + 1)t = 2$.
Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$t^2 + t = 2$
$t^2 + t - 2 = 0$.
По теореме Виета, корнями этого уравнения являются $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену для каждого значения $t$.
Случай 1: $t = 1$.
$x^2 - 5x + 6 = 1$
$x^2 - 5x + 5 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Случай 2: $t = -2$.
$x^2 - 5x + 6 = -2$
$x^2 - 5x + 8 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.
Так как $D < 0$, то в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.12 расположенного на странице 201 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.12 (с. 201), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    