Номер 24.6, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.6, страница 201.

Условие.

24.6. Решите уравнение:

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$;

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$;

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$.

Решение.

1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$

Данное уравнение определено при $x \ge 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному, сделав замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку корень квадратный не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Либо найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$.

$t_1 = \frac{6+2}{2} = 4$

$t_2 = \frac{6-2}{2} = 2$

Оба корня ($t_1=4$ и $t_2=2$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. Если $t = 4$, то $\sqrt{x} = 4$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 16$.

2. Если $t = 2$, то $\sqrt{x} = 2$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 4$.

Оба найденных значения $x$ удовлетворяют начальному условию $x \ge 0$.

Ответ: 4; 16.

2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$

Область допустимых значений: $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 50 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{5 \pm 15}{2}$.

$t_1 = \frac{5+15}{2} = 10$

$t_2 = \frac{5-15}{2} = -5$

Проверяем корни по условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = 10$ подходит. Корень $t_2 = -5$ не подходит (посторонний корень), так как он отрицательный.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=10$:

$\sqrt{x} = 10$

$x = 10^2 = 100$

Найденное значение $x=100$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Ответ: 100.

3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$

Область допустимых значений: $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставляем в уравнение:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$.

$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня ($t_1=1$ и $t_2=1/2$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену.

1. Если $t = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.

2. Если $t = 1/2$, то $\sqrt{x} = 1/2$, откуда $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Оба значения $x$ входят в область допустимых значений.

Ответ: 1/4; 1.