Номер 24.6, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 24. Решение уравнений методом замены переменной - номер 24.6, страница 201.
№24.6 (с. 201)
Условие. №24.6 (с. 201)
скриншот условия
 
                                24.6. Решите уравнение:
1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$;
2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$;
3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$.
Решение. №24.6 (с. 201)
1) $x - 6\sqrt{x} + 8 = 0$
Данное уравнение определено при $x \ge 0$.
Это уравнение можно свести к квадратному, сделав замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Поскольку корень квадратный не может быть отрицательным, $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Отсюда корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.
Либо найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$.
$t_1 = \frac{6+2}{2} = 4$
$t_2 = \frac{6-2}{2} = 2$
Оба корня ($t_1=4$ и $t_2=2$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.
1. Если $t = 4$, то $\sqrt{x} = 4$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 16$.
2. Если $t = 2$, то $\sqrt{x} = 2$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 4$.
Оба найденных значения $x$ удовлетворяют начальному условию $x \ge 0$.
Ответ: 4; 16.
2) $x - 5\sqrt{x} - 50 = 0$
Область допустимых значений: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной: $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{5 \pm 15}{2}$.
$t_1 = \frac{5+15}{2} = 10$
$t_2 = \frac{5-15}{2} = -5$
Проверяем корни по условию $t \ge 0$. Корень $t_1 = 10$ подходит. Корень $t_2 = -5$ не подходит (посторонний корень), так как он отрицательный.
Выполним обратную замену для подходящего корня $t=10$:
$\sqrt{x} = 10$
$x = 10^2 = 100$
Найденное значение $x=100$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Ответ: 100.
3) $2x - 3\sqrt{x} + 1 = 0$
Область допустимых значений: $x \ge 0$.
Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставляем в уравнение:
$2t^2 - 3t + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$.
$t_1 = \frac{3+1}{4} = 1$
$t_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня ($t_1=1$ и $t_2=1/2$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену.
1. Если $t = 1$, то $\sqrt{x} = 1$, откуда $x = 1^2 = 1$.
2. Если $t = 1/2$, то $\sqrt{x} = 1/2$, откуда $x = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Оба значения $x$ входят в область допустимых значений.
Ответ: 1/4; 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 24.6 расположенного на странице 201 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №24.6 (с. 201), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    