Номер 23.17, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.17, страница 193.

Условие.

23.17. Решите уравнение $ \frac{|x+1|-|x-1|}{x}=1 $.

Решение.

Исходное уравнение: $\frac{|x+1| - |x-1|}{x} = 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

При $x \neq 0$ домножим обе части уравнения на $x$, получим равносильное уравнение:

$|x+1| - |x-1| = x$

Для решения уравнения с модулями необходимо раскрыть модули. Знаки выражений под модулями меняются в точках $x=-1$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка. Решим уравнение на каждом из них.

1. Промежуток $x < -1$

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x+1 < 0$ и $x-1 < 0$.

Следовательно, $|x+1| = -(x+1) = -x-1$ и $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.

Подставляем эти выражения в уравнение:

$(-x-1) - (-x+1) = x$

$-x-1 + x - 1 = x$

$-2 = x$

Полученное значение $x=-2$ удовлетворяет условию $x < -1$, а также ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому является корнем уравнения.

2. Промежуток $-1 \le x < 1$

На этом промежутке $x+1 \ge 0$ и $x-1 < 0$.

Следовательно, $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1) - (-x+1) = x$

$x+1 + x - 1 = x$

$2x = x$

$x = 0$

Полученное значение $x=0$ принадлежит рассматриваемому промежутку ($-1 \le 0 < 1$), но не входит в ОДЗ ($x \neq 0$). Следовательно, $x=0$ не является корнем исходного уравнения.

3. Промежуток $x \ge 1$

На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $x+1 > 0$ и $x-1 \ge 0$.

Следовательно, $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = x-1$.

Уравнение принимает вид:

$(x+1) - (x-1) = x$

$x+1 - x + 1 = x$

$2 = x$

Полученное значение $x=2$ удовлетворяет условию $x \ge 1$, а также ОДЗ ($x \neq 0$), поэтому является корнем уравнения.

Объединяя результаты, полученные на всех промежутках, мы находим, что исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 2$.