Номер 23.13, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.13, страница 192.

Условие.

23.13. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{x+2}{a+1} = \frac{2x-a-1}{x-2}$;

2) $\frac{x^2+(3a+1)x+2a+2a^2}{(x-1)(x+2)}=0$;

3) $\frac{x^2-(2a+1)x+a+a^2}{x(x-2)}=0$;

4) $\frac{(a-2)x}{a-1} - 1 = \frac{a+2}{a-1} - \frac{2x^2+a+1}{(a-1)x}$.

Решение.

1)

Исходное уравнение: $ \frac{x+2}{a+1} = \frac{2x-a-1}{x-2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): $ a+1 \neq 0 $ и $ x-2 \neq 0 $, то есть $ a \neq -1 $ и $ x \neq 2 $.

При $ a \neq -1 $ и $ x \neq 2 $ преобразуем уравнение, используя свойство пропорции:

$ (x+2)(x-2) = (a+1)(2x-a-1) $

$ x^2 - 4 = 2(a+1)x - (a+1)^2 $

$ x^2 - (2a+2)x + (a+1)^2 - 4 = 0 $

$ x^2 - (2a+2)x + a^2+2a+1 - 4 = 0 $

$ x^2 - (2a+2)x + a^2+2a-3 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант:

$ D = (-(2a+2))^2 - 4(1)(a^2+2a-3) = 4(a+1)^2 - 4(a^2+2a-3) = 4(a^2+2a+1) - 4a^2-8a+12 = 4a^2+8a+4-4a^2-8a+12 = 16 $.

Так как $ D = 16 > 0 $, уравнение всегда имеет два различных корня:

$ x = \frac{2a+2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2a+2 \pm 4}{2} $

$ x_1 = \frac{2a+2-4}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1 $

$ x_2 = \frac{2a+2+4}{2} = \frac{2a+6}{2} = a+3 $

Теперь нужно проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 2 $).

1. Проверим, при каких $a$ корень $ x_1 $ не удовлетворяет ОДЗ:

$ a-1 = 2 \implies a = 3 $.

Если $ a=3 $, то $ x_1=2 $ является посторонним корнем. Второй корень при $ a=3 $ будет $ x_2 = a+3 = 3+3 = 6 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2. Проверим, при каких $a$ корень $ x_2 $ не удовлетворяет ОДЗ:

$ a+3 = 2 \implies a = -1 $.

Но значение $ a=-1 $ не входит в ОДЗ самого уравнения, при этом значении параметра уравнение не имеет смысла.

Соберем все случаи:

• Если $ a = -1 $, уравнение не определено, решений нет.

• Если $ a = 3 $, один корень $ x=2 $ посторонний, остается один корень $ x=6 $.

• Если $ a \neq -1 $ и $ a \neq 3 $, оба корня $ x=a-1 $ и $ x=a+3 $ являются решениями.

Ответ: если $ a = -1 $, то решений нет; если $ a = 3 $, то $ x=6 $; если $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\} $, то $ x_1 = a-1, x_2 = a+3 $.

2)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 + (3a+1)x + 2a+2a^2}{(x-1)(x+2)} = 0 $.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

ОДЗ: $ (x-1)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 1 $ и $ x \neq -2 $.

Приравняем числитель к нулю:

$ x^2 + (3a+1)x + 2a^2+2a = 0 $

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения относительно $x$:

$ D = (3a+1)^2 - 4(1)(2a^2+2a) = 9a^2+6a+1 - 8a^2-8a = a^2-2a+1 = (a-1)^2 $.

Корни уравнения:

$ x = \frac{-(3a+1) \pm \sqrt{(a-1)^2}}{2} = \frac{-3a-1 \pm |a-1|}{2} $

Раскрывая модуль, в обоих случаях ($ a \ge 1 $ и $ a < 1 $) получаем два корня:

$ x_1 = -a-1 $

$ x_2 = -2a $

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1, x \neq -2 $).

1. Проверим, когда корни совпадают: $ -2a = -a-1 \implies a=1 $. При $ a=1 $ дискриминант $ D=0 $, и корень один: $ x = -2(1) = -2 $. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, значит, при $ a=1 $ решений нет.

2. Проверим, когда $ x_1 = -a-1 $ является посторонним:

• $ -a-1 = 1 \implies -a=2 \implies a=-2 $. При $ a=-2 $, корень $ x_1=1 $ посторонний. Второй корень $ x_2=-2a=-2(-2)=4 $. Это решение.

• $ -a-1 = -2 \implies -a=-1 \implies a=1 $. Этот случай уже рассмотрен, решений нет.

3. Проверим, когда $ x_2 = -2a $ является посторонним:

• $ -2a = 1 \implies a=-1/2 $. При $ a=-1/2 $, корень $ x_2=1 $ посторонний. Второй корень $ x_1=-a-1=-(-1/2)-1=1/2-1=-1/2 $. Это решение.

• $ -2a = -2 \implies a=1 $. Этот случай уже рассмотрен, решений нет.

Ответ: если $ a = 1 $, то решений нет; если $ a = -2 $, то $ x=4 $; если $ a = -1/2 $, то $ x=-1/2 $; если $ a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2, -1/2\} $, то $ x_1=-a-1, x_2=-2a $.

3)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - (2a+1)x + a^2+a}{x(x-2)} = 0 $.

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - (2a+1)x + a^2+a = 0 \\ x(x-2) \neq 0 \end{cases} $

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - (2a+1)x + a(a+1) = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней равна $ 2a+1 $, а произведение $ a(a+1) $. Корнями являются $ x_1=a $ и $ x_2=a+1 $.

Теперь нужно исключить значения $a$, при которых эти корни совпадают с запрещенными значениями из ОДЗ.

1. Проверим, когда $ x_1=a $ является посторонним:

• $ a=0 $. В этом случае $ x_1=0 $ — посторонний корень. Второй корень $ x_2=a+1=0+1=1 $. Это решение.

• $ a=2 $. В этом случае $ x_1=2 $ — посторонний корень. Второй корень $ x_2=a+1=2+1=3 $. Это решение.

2. Проверим, когда $ x_2=a+1 $ является посторонним:

• $ a+1=0 \implies a=-1 $. В этом случае $ x_2=0 $ — посторонний корень. Второй корень $ x_1=a=-1 $. Это решение.

• $ a+1=2 \implies a=1 $. В этом случае $ x_2=2 $ — посторонний корень. Второй корень $ x_1=a=1 $. Это решение.

Ответ: если $ a = -1 $, то $ x=-1 $; если $ a=0 $ или $ a=1 $, то $ x=1 $; если $ a=2 $, то $ x=3 $; если $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1, 2\} $, то $ x_1=a, x_2=a+1 $.

4)

Исходное уравнение: $ \frac{(a-2)x}{a-1} - 1 = \frac{a+2}{a-1} - \frac{2x^2+a+1}{(a-1)x} $.

ОДЗ: $ a-1 \neq 0 \implies a \neq 1 $ и $ x \neq 0 $.

При $ a \neq 1 $ и $ x \neq 0 $ умножим обе части уравнения на общий знаменатель $ (a-1)x $:

$ (a-2)x \cdot x - 1 \cdot (a-1)x = (a+2)x - (2x^2+a+1) $

$ (a-2)x^2 - (a-1)x = (a+2)x - 2x^2 - a - 1 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ (a-2+2)x^2 - (a-1+a+2)x + a+1 = 0 $

$ ax^2 - (2a+1)x + a+1 = 0 $

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ a=0 $. Уравнение становится линейным:

$ -x+1=0 \implies x=1 $.

Корень $ x=1 $ удовлетворяет ОДЗ. Значит, при $ a=0 $ решение $ x=1 $.

Случай 2: $ a \neq 0 $. Уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

$ D = (-(2a+1))^2 - 4(a)(a+1) = 4a^2+4a+1 - 4a^2-4a = 1 $.

Корни уравнения:

$ x_1 = \frac{2a+1-1}{2a} = \frac{2a}{2a} = 1 $

$ x_2 = \frac{2a+1+1}{2a} = \frac{2a+2}{2a} = \frac{a+1}{a} $

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 0 $).

Корень $ x_1=1 $ всегда отличен от нуля.

Корень $ x_2 = \frac{a+1}{a} $ равен нулю при $ a=-1 $. В этом случае $ x_2 $ является посторонним, и решением остается только $ x_1=1 $.

Ответ: если $ a = 1 $, то решений нет; если $ a=0 $ или $ a=-1 $, то $ x=1 $; если $ a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\} $, то $ x_1=1, x_2=\frac{a+1}{a} $.