Номер 23.11, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.11, страница 192.

Условие.

23.11. Для каждого значения параметра a решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - a} = 0;$

2) $\frac{x - a}{x^2 - 8x + 7} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (3a + 2)x + 6a}{x - 6} = 0;$

4) $\frac{a(x - a)}{x + 3} = 0.$

Решение.

1)

Данное уравнение $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - a} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 7 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Корнями квадратного уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$ (по теореме Виета).

Теперь необходимо учесть условие $x \neq a$ для каждого из найденных корней.

Рассмотрим три случая для параметра $a$:

• Если $a=1$, то корень $x=1$ является посторонним, так как знаменатель обращается в ноль. Единственным решением остается $x=7$.
• Если $a=7$, то корень $x=7$ является посторонним. Единственным решением остается $x=1$.
• Если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, оба корня $x=1$ и $x=7$ удовлетворяют условию $x-a \neq 0$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a=1$, то $x=7$; если $a=7$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x_1=1$, $x_2=7$.

2)

Данное уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 8x + 7} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x - a = 0, \\ x^2 - 8x + 7 \neq 0. \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$.

Из второго условия $x^2 - 8x + 7 \neq 0$ следует, что $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Таким образом, решение $x=a$ существует только тогда, когда $a$ не совпадает с недопустимыми значениями.

• Если $a=1$ или $a=7$, то корень $x=a$ не удовлетворяет условию $x^2 - 8x + 7 \neq 0$. В этих случаях решений нет.
• Если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x=a$ является решением уравнения.

Ответ: если $a=1$ или $a=7$, то решений нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x=a$.

3)

Данное уравнение $\frac{x^2 - (3a + 2)x + 6a}{x - 6} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (3a + 2)x + 6a = 0, \\ x - 6 \neq 0. \end{cases}$

Решим квадратное уравнение $x^2 - (3a + 2)x + 6a = 0$.

Дискриминант $D = (3a+2)^2 - 4 \cdot 6a = 9a^2 + 12a + 4 - 24a = 9a^2 - 12a + 4 = (3a-2)^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{3a+2 - (3a-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{3a+2 + (3a-2)}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$.

Теперь учтем условие $x \neq 6$.

Корень $x_1=2$ всегда является решением, так как $2 \neq 6$.

Корень $x_2=3a$ является решением, если $3a \neq 6$, то есть $a \neq 2$.

• Если $a=2$, то корень $x_2 = 3 \cdot 2 = 6$ является посторонним. В этом случае уравнение имеет единственное решение $x=2$.
• Если $a \neq 2$, то оба корня $x=2$ и $x=3a$ являются решениями. (При $a=2/3$ эти корни совпадают).

Ответ: если $a=2$, то $x=2$; если $a \neq 2$, то $x_1=2$, $x_2=3a$.

4)

Данное уравнение $\frac{a(x - a)}{x + 3} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} a(x - a) = 0, \\ x + 3 \neq 0. \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $a(x-a)=0$.

Проанализируем его в зависимости от параметра $a$.

• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $\frac{0}{x+3}=0$. Это равенство верно для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq -3$.
• Если $a \neq 0$, то из $a(x-a)=0$ следует $x-a=0$, откуда $x=a$. Это значение будет корнем исходного уравнения, если оно удовлетворяет условию $x \neq -3$, то есть $a \neq -3$.
  • Если $a \neq 0$ и $a \neq -3$, решением является $x=a$.
  • Если $a = -3$ (что не равно 0), то потенциальный корень $x=-3$ не удовлетворяет условию $x \neq -3$. В этом случае решений нет.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое число, кроме $x=-3$; если $a=-3$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -3$, то $x=a$.