Номер 23.8, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 4. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям - номер 23.8, страница 191.

Условие.

23.8. Решите уравнение:

1) $ \frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{x^3-8} = \frac{5}{x-2} $;

2) $ \frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{x^2+2x-3} $.

Решение.

1) $\frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{x^3-8} = \frac{5}{x-2}$

Первым шагом разложим на множители знаменатель $x^3-8$, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3-8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$

Теперь уравнение можно переписать в виде:

$\frac{3x+2}{x^2+2x+4} + \frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{5}{x-2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x^2+2x+4 \neq 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, трехчлен не имеет действительных корней и не обращается в ноль (он всегда положителен).

Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$.

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю $(x-2)(x^2+2x+4)$:

$\frac{(3x+2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)} + \frac{x^2+39}{(x-2)(x^2+2x+4)} = \frac{5(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, при условии $x \neq 2$:

$(3x+2)(x-2) + x^2+39 = 5(x^2+2x+4)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 6x + 2x - 4 + x^2 + 39 = 5x^2 + 10x + 20$

$4x^2 - 4x + 35 = 5x^2 + 10x + 20$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$5x^2 - 4x^2 + 10x + 4x + 20 - 35 = 0$

$x^2 + 14x - 15 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-14$, а их произведение равно $-15$.

$x_1 + x_2 = -14$

$x_1 \cdot x_2 = -15$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -15$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2$).

Ответ: $1; -15$.

2) $\frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{x^2+2x-3}$

Разложим на множители знаменатель в правой части уравнения $x^2+2x-3$. Для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-3=0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение $-3$. Корнями являются числа $1$ и $-3$.

Таким образом, $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{x}{x-1} + \frac{x+1}{x+3} = \frac{8}{(x-1)(x+3)}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неравенства знаменателей нулю:

$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+3)$, чтобы избавиться от дробей:

$x(x+3) + (x+1)(x-1) = 8$

Раскроем скобки. Выражение $(x+1)(x-1)$ является разностью квадратов $x^2-1$.

$x^2 + 3x + x^2 - 1 = 8$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 3x - 1 - 8 = 0$

$2x^2 + 3x - 9 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 9 + 72 = 81$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 9}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 1,5$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель дроби $\frac{x+1}{x+3}$ обращается в ноль. Следовательно, $x_2 = -3$ является посторонним корнем.

Ответ: $1,5$.